4sin^2x-4cosx-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4sin^2x-4cosx-1=0

Вы ввели

     2                      
4*sin (x) - 4*cos(x) - 1 = 0

$$4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$
преобразуем
$$- 4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(x \right)} + 3 = 0$$
$$- 4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(x \right)} - 1 + 4 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -4$$
$$b = -4$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (-4) * (3) = 64

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{3}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      3  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$

     pi
x2 = --
     3 

$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$

         /     /  ___\\         /     /  ___\\
x3 = 2*im\atanh\\/ 5 // - 2*I*re\atanh\\/ 5 //

$$x_{3} = 2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{5} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{5} \right)}\right)}$$

           /     /  ___\\         /     /  ___\\
x4 = - 2*im\atanh\\/ 5 // + 2*I*re\atanh\\/ 5 //

$$x_{4} = - 2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{5} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{5} \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   pi       /     /  ___\\         /     /  ___\\         /     /  ___\\         /     /  ___\\
0 - -- + -- + 2*im\atanh\\/ 5 // - 2*I*re\atanh\\/ 5 // + - 2*im\atanh\\/ 5 // + 2*I*re\atanh\\/ 5 //
    3    3                                                                                           

$$\left(\left(\left(- \frac{\pi}{3} + 0\right) + \frac{\pi}{3}\right) + \left(2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{5} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{5} \right)}\right)}\right)\right) - \left(2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{5} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{5} \right)}\right)}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  -pi  pi /    /     /  ___\\         /     /  ___\\\ /      /     /  ___\\         /     /  ___\\\
1*----*--*\2*im\atanh\\/ 5 // - 2*I*re\atanh\\/ 5 ///*\- 2*im\atanh\\/ 5 // + 2*I*re\atanh\\/ 5 ///
   3   3                                                                                           

$$\frac{\pi}{3} \cdot 1 \left(- \frac{\pi}{3}\right) \left(2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{5} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{5} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{5} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{5} \right)}\right)}\right)$$

=

                                               2
    2 /      /     /  ___\\     /     /  ___\\\ 
4*pi *\- I*re\atanh\\/ 5 // + im\atanh\\/ 5 /// 
------------------------------------------------
                       9                        

$$\frac{4 \pi^{2} \left(\operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{5} \right)}\right)} - i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{5} \right)}\right)}\right)^{2}}{9}$$

Численный ответ

x1 = -51.3126800086333

x2 = 5.23598775598299

x3 = 76.4454212373516

x4 = -70.162235930172

x5 = -57.5958653158129

x6 = -1.0471975511966

x7 = 74.3510261349584

x8 = 82.7286065445312

x9 = -80.634211442138

x10 = 63.8790506229925

x11 = -11.5191730631626

x12 = -55.5014702134197

x13 = -89.0117918517108

x14 = 32.4631240870945

x15 = -86.9173967493176

x16 = 7.33038285837618

x17 = 24.0855436775217

x18 = -7.33038285837618

x19 = 38.7463093942741

x20 = 51.3126800086333

x21 = -26.1799387799149

x22 = 95.2949771588904

x23 = -13.6135681655558

x24 = -17.8023583703422

x25 = 57.5958653158129

x26 = 19.8967534727354

x27 = -68.0678408277789

x28 = 13.6135681655558

x29 = -126.710903694788

x30 = -36.6519142918809

x31 = 61.7846555205993

x32 = -42.9350995990605

x33 = -33886.2655591707

x34 = -457.625329872913

x35 = -61.7846555205993

x36 = 17.8023583703422

x37 = -82.7286065445312

x38 = -95.2949771588904

x39 = -99.4837673636768

x40 = 42.9350995990605

x41 = 26.1799387799149

x42 = -19.8967534727354

x43 = -49.2182849062401

x44 = 30.3687289847013

x45 = 55.5014702134197

x46 = -5.23598775598299

x47 = 11.5191730631626

x48 = 101.57816246607

x49 = -93.2005820564972

x50 = -76.4454212373516

x51 = -32.4631240870945

x52 = 36.6519142918809

x53 = -74.3510261349584

x54 = 68.0678408277789

x55 = -45.0294947014537

x56 = 86.9173967493176

x57 = 70.162235930172

x58 = -63.8790506229925

x59 = -30.3687289847013

x60 = 49.2182849062401

x61 = -24.0855436775217

x62 = 99.4837673636768

x63 = 80.634211442138

График