4x^2-4x-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4x^2-4x-1=0

Вы ввели

   2              
4*x  - 4*x - 1 = 0

$$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = -4$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (4) * (-1) = 32

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

           ___
     1   \/ 2 
x1 = - - -----
     2     2  

$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$$

           ___
     1   \/ 2 
x2 = - + -----
     2     2  

$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          ___         ___
    1   \/ 2    1   \/ 2 
0 + - - ----- + - + -----
    2     2     2     2  

$$\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 0\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

произведение

  /      ___\ /      ___\
  |1   \/ 2 | |1   \/ 2 |
1*|- - -----|*|- + -----|
  \2     2  / \2     2  /

$$1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

=

-1/4

$$- \frac{1}{4}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} - x - \frac{1}{4} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -1$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - \frac{1}{4}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = 1$$
$$x_{1} x_{2} = - \frac{1}{4}$$

Численный ответ

x1 = 1.20710678118655

x2 = -0.207106781186548

График