4a^2+5=a (уравнение)

Найду корень уравнения: 4a^2+5=a

Вы ввели

   2        
4*a  + 5 = a

$$4 a^{2} + 5 = a$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$4 a^{2} + 5 = a$$
в
$$- a + \left(4 a^{2} + 5\right) = 0$$
Это уравнение вида

a*a^2 + b*a + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$a_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$a_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = -1$$
$$c = 5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (4) * (5) = -79

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

a1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

a2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$a_{1} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{79} i}{8}$$
Упростить
$$a_{2} = \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{79} i}{8}$$
Упростить

Быстрый ответ

             ____
     1   I*\/ 79 
a1 = - - --------
     8      8    

$$a_{1} = \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{79} i}{8}$$

             ____
     1   I*\/ 79 
a2 = - + --------
     8      8    

$$a_{2} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{79} i}{8}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ____           ____
    1   I*\/ 79    1   I*\/ 79 
0 + - - -------- + - + --------
    8      8       8      8    

$$\left(0 + \left(\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{79} i}{8}\right)\right) + \left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{79} i}{8}\right)$$

=

1/4

$$\frac{1}{4}$$

произведение

  /        ____\ /        ____\
  |1   I*\/ 79 | |1   I*\/ 79 |
1*|- - --------|*|- + --------|
  \8      8    / \8      8    /

$$1 \cdot \left(\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{79} i}{8}\right) \left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{79} i}{8}\right)$$

=

5/4

$$\frac{5}{4}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$4 a^{2} + 5 = a$$
из
$$a^{3} + a b + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$a^{2} + b + \frac{c}{a} = 0$$
$$a^{2} - \frac{a}{4} + \frac{5}{4} = 0$$
$$a^{2} + a p + q = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = - \frac{1}{4}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{5}{4}$$
Формулы Виета
$$a_{1} + a_{2} = - p$$
$$a_{1} a_{2} = q$$
$$a_{1} + a_{2} = \frac{1}{4}$$
$$a_{1} a_{2} = \frac{5}{4}$$

Численный ответ

a1 = 0.125 + 1.11102430216445*i

a2 = 0.125 - 1.11102430216445*i

График