5x^4-80=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 5x^4-80=0

Вы ввели

   4         
5*x  - 80 = 0

$$5 x^{4} - 80 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$5 x^{4} - 80 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{5} \sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = \sqrt[4]{80}$$
$$\sqrt[4]{5} \sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = \sqrt[4]{80} \left(-1\right)$$
или
$$\sqrt[4]{5} x = 2 \cdot \sqrt[4]{5}$$
$$\sqrt[4]{5} x = - 2 \cdot \sqrt[4]{5}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*5^1/4 = 2*5^(1/4)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*5^1/4 = 2*5^1/4

Разделим обе части ур-ния на 5^(1/4)

x = 2*5^(1/4) / (5^(1/4))

Получим ответ: x = 2
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*5^1/4 = -2*5^(1/4)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*5^1/4 = -2*5^1/4

Разделим обе части ур-ния на 5^(1/4)

x = -2*5^(1/4) / (5^(1/4))

Получим ответ: x = -2
или
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 16$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 16$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 2$$
$$z_{3} = - 2 i$$
$$z_{4} = 2 i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = - 2 i$$
$$x_{4} = 2 i$$

Быстрый ответ

x1 = -2

$$x_{1} = -2$$

x2 = 2

$$x_{2} = 2$$

x3 = -2*I

$$x_{3} = - 2 i$$

x4 = 2*I

$$x_{4} = 2 i$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 - 2 + 2 - 2*I + 2*I

$$\left(\left(\left(-2 + 0\right) + 2\right) - 2 i\right) + 2 i$$

=

0

$$0$$

произведение

1*-2*2*-2*I*2*I

$$2 i - 2 i 1 \left(-2\right) 2$$

=

-16

$$-16$$

Численный ответ

x1 = 2.0

x2 = -2.0*i

x3 = 2.0*i

x4 = -2.0