5x^2+3x-2=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: 5x^2+3x-2=1

Вы ввели

   2              
5*x  + 3*x - 2 = 1

$$5 x^{2} + 3 x - 2 = 1$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$5 x^{2} + 3 x - 2 = 1$$
в
$$\left(5 x^{2} + 3 x - 2\right) - 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 5$$
$$b = 3$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (5) * (-3) = 69

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{3}{10} + \frac{\sqrt{69}}{10}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{69}}{10} - \frac{3}{10}$$
Упростить

Быстрый ответ

              ____
       3    \/ 69 
x1 = - -- + ------
       10     10  

$$x_{1} = - \frac{3}{10} + \frac{\sqrt{69}}{10}$$

              ____
       3    \/ 69 
x2 = - -- - ------
       10     10  

$$x_{2} = - \frac{\sqrt{69}}{10} - \frac{3}{10}$$

Сумма и произведение корней

сумма

             ____            ____
      3    \/ 69      3    \/ 69 
0 + - -- + ------ + - -- - ------
      10     10       10     10  

$$\left(- \frac{\sqrt{69}}{10} - \frac{3}{10}\right) - \left(\frac{3}{10} - \frac{\sqrt{69}}{10}\right)$$

=

-3/5

$$- \frac{3}{5}$$

произведение

  /         ____\ /         ____\
  |  3    \/ 69 | |  3    \/ 69 |
1*|- -- + ------|*|- -- - ------|
  \  10     10  / \  10     10  /

$$1 \left(- \frac{3}{10} + \frac{\sqrt{69}}{10}\right) \left(- \frac{\sqrt{69}}{10} - \frac{3}{10}\right)$$

=

-3/5

$$- \frac{3}{5}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$5 x^{2} + 3 x - 2 = 1$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} + \frac{3 x}{5} - \frac{3}{5} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = \frac{3}{5}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - \frac{3}{5}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = - \frac{3}{5}$$
$$x_{1} x_{2} = - \frac{3}{5}$$

Численный ответ

x1 = 0.530662386291808

x2 = -1.13066238629181

График