(6x-7)^4+4(6x-7)^2+3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (6x-7)^4+4(6x-7)^2+3=0

Вы ввели

         4              2        
(6*x - 7)  + 4*(6*x - 7)  + 3 = 0

$$\left(6 x - 7\right)^{4} + 4 \left(6 x - 7\right)^{2} + 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(6 x - 7\right)^{4} + 4 \left(6 x - 7\right)^{2} + 3 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(6 x - 7\right)^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} + 4 v + 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 4$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(4)^2 - 4 * (1) * (3) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = -1$$
Упростить
$$v_{2} = -3$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = \left(6 x - 7\right)^{2}$$
то
$$x_{1} = \frac{\sqrt{v_{1}}}{6} + \frac{7}{6}$$
$$x_{2} = \frac{7}{6} - \frac{\sqrt{v_{1}}}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{v_{2}}}{6} + \frac{7}{6}$$
$$x_{4} = \frac{7}{6} - \frac{\sqrt{v_{2}}}{6}$$
тогда:
$$x_{1} =$$
$$\frac{7}{6} + \frac{1 \left(-1\right)^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{7}{6} + \frac{i}{6}$$
$$x_{2} =$$
$$\frac{7}{6} + \frac{\left(-1\right) \left(-1\right)^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{7}{6} - \frac{i}{6}$$
$$x_{3} =$$
$$\frac{7}{6} + \frac{1 \left(-3\right)^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{7}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
$$x_{4} =$$
$$\frac{7}{6} + \frac{\left(-1\right) \left(-3\right)^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{7}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$

Быстрый ответ

     7   I
x1 = - - -
     6   6

$$x_{1} = \frac{7}{6} - \frac{i}{6}$$

     7   I
x2 = - + -
     6   6

$$x_{2} = \frac{7}{6} + \frac{i}{6}$$

             ___
     7   I*\/ 3 
x3 = - - -------
     6      6   

$$x_{3} = \frac{7}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$

             ___
     7   I*\/ 3 
x4 = - + -------
     6      6   

$$x_{4} = \frac{7}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                            ___           ___
    7   I   7   I   7   I*\/ 3    7   I*\/ 3 
0 + - - - + - + - + - - ------- + - + -------
    6   6   6   6   6      6      6      6   

$$\left(\left(\frac{7}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}\right) + \left(\left(0 + \left(\frac{7}{6} - \frac{i}{6}\right)\right) + \left(\frac{7}{6} + \frac{i}{6}\right)\right)\right) + \left(\frac{7}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}\right)$$

=

14/3

$$\frac{14}{3}$$

произведение

                  /        ___\ /        ___\
  /7   I\ /7   I\ |7   I*\/ 3 | |7   I*\/ 3 |
1*|- - -|*|- + -|*|- - -------|*|- + -------|
  \6   6/ \6   6/ \6      6   / \6      6   /

$$1 \cdot \left(\frac{7}{6} - \frac{i}{6}\right) \left(\frac{7}{6} + \frac{i}{6}\right) \left(\frac{7}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}\right) \left(\frac{7}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}\right)$$

=

325
---
162

$$\frac{325}{162}$$

Численный ответ

x1 = 1.16666666666667 + 0.166666666666667*i

x2 = 1.16666666666667 + 0.288675134594813*i

x3 = 1.16666666666667 - 0.288675134594813*i

x4 = 1.16666666666667 - 0.166666666666667*i