(6x-7)^4+4(6x-7)^2+3=0 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: (6x-7)^4+4(6x-7)^2+3=0
Решение
Подробное решение
Дано уравнение:( 6 x − 7 ) 4 + 4 ( 6 x − 7 ) 2 + 3 = 0 \left(6 x - 7\right)^{4} + 4 \left(6 x - 7\right)^{2} + 3 = 0 ( 6 x − 7 ) 4 + 4 ( 6 x − 7 ) 2 + 3 = 0 Сделаем заменуv = ( 6 x − 7 ) 2 v = \left(6 x - 7\right)^{2} v = ( 6 x − 7 ) 2 тогда ур-ние будет таким:v 2 + 4 v + 3 = 0 v^{2} + 4 v + 3 = 0 v 2 + 4 v + 3 = 0 Это уравнение видаa*v^2 + b*v + c = 0 Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Корни квадратного уравнения:v 1 = D − b 2 a v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a} v 1 = 2 a D − b v 2 = − D − b 2 a v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a} v 2 = 2 a − D − b где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант. Т.к.a = 1 a = 1 a = 1 b = 4 b = 4 b = 4 c = 3 c = 3 c = 3 , тоD = b^2 - 4 * a * c = (4)^2 - 4 * (1) * (3) = 4 Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a) илиv 1 = − 1 v_{1} = -1 v 1 = − 1 Упростить v 2 = − 3 v_{2} = -3 v 2 = − 3 Упростить Получаем окончательный ответ: Т.к.v = ( 6 x − 7 ) 2 v = \left(6 x - 7\right)^{2} v = ( 6 x − 7 ) 2 тоx 1 = v 1 6 + 7 6 x_{1} = \frac{\sqrt{v_{1}}}{6} + \frac{7}{6} x 1 = 6 v 1 + 6 7 x 2 = 7 6 − v 1 6 x_{2} = \frac{7}{6} - \frac{\sqrt{v_{1}}}{6} x 2 = 6 7 − 6 v 1 x 3 = v 2 6 + 7 6 x_{3} = \frac{\sqrt{v_{2}}}{6} + \frac{7}{6} x 3 = 6 v 2 + 6 7 x 4 = 7 6 − v 2 6 x_{4} = \frac{7}{6} - \frac{\sqrt{v_{2}}}{6} x 4 = 6 7 − 6 v 2 тогда:x 1 = x_{1} = x 1 = 7 6 + 1 ( − 1 ) 1 2 6 = 7 6 + i 6 \frac{7}{6} + \frac{1 \left(-1\right)^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{7}{6} + \frac{i}{6} 6 7 + 6 1 ( − 1 ) 2 1 = 6 7 + 6 i x 2 = x_{2} = x 2 = 7 6 + ( − 1 ) ( − 1 ) 1 2 6 = 7 6 − i 6 \frac{7}{6} + \frac{\left(-1\right) \left(-1\right)^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{7}{6} - \frac{i}{6} 6 7 + 6 ( − 1 ) ( − 1 ) 2 1 = 6 7 − 6 i x 3 = x_{3} = x 3 = 7 6 + 1 ( − 3 ) 1 2 6 = 7 6 + 3 i 6 \frac{7}{6} + \frac{1 \left(-3\right)^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{7}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6} 6 7 + 6 1 ( − 3 ) 2 1 = 6 7 + 6 3 i x 4 = x_{4} = x 4 = 7 6 + ( − 1 ) ( − 3 ) 1 2 6 = 7 6 − 3 i 6 \frac{7}{6} + \frac{\left(-1\right) \left(-3\right)^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{7}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6} 6 7 + 6 ( − 1 ) ( − 3 ) 2 1 = 6 7 − 6 3 i x 1 = 7 6 − i 6 x_{1} = \frac{7}{6} - \frac{i}{6} x 1 = 6 7 − 6 i x 2 = 7 6 + i 6 x_{2} = \frac{7}{6} + \frac{i}{6} x 2 = 6 7 + 6 i ___
7 I*\/ 3
x3 = - - -------
6 6 x 3 = 7 6 − 3 i 6 x_{3} = \frac{7}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6} x 3 = 6 7 − 6 3 i ___
7 I*\/ 3
x4 = - + -------
6 6 x 4 = 7 6 + 3 i 6 x_{4} = \frac{7}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6} x 4 = 6 7 + 6 3 i
Сумма и произведение корней
[src] ___ ___
7 I 7 I 7 I*\/ 3 7 I*\/ 3
0 + - - - + - + - + - - ------- + - + -------
6 6 6 6 6 6 6 6 ( ( 7 6 − 3 i 6 ) + ( ( 0 + ( 7 6 − i 6 ) ) + ( 7 6 + i 6 ) ) ) + ( 7 6 + 3 i 6 ) \left(\left(\frac{7}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}\right) + \left(\left(0 + \left(\frac{7}{6} - \frac{i}{6}\right)\right) + \left(\frac{7}{6} + \frac{i}{6}\right)\right)\right) + \left(\frac{7}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}\right) ( ( 6 7 − 6 3 i ) + ( ( 0 + ( 6 7 − 6 i ) ) + ( 6 7 + 6 i ) ) ) + ( 6 7 + 6 3 i ) / ___\ / ___\
/7 I\ /7 I\ |7 I*\/ 3 | |7 I*\/ 3 |
1*|- - -|*|- + -|*|- - -------|*|- + -------|
\6 6/ \6 6/ \6 6 / \6 6 / 1 ⋅ ( 7 6 − i 6 ) ( 7 6 + i 6 ) ( 7 6 − 3 i 6 ) ( 7 6 + 3 i 6 ) 1 \cdot \left(\frac{7}{6} - \frac{i}{6}\right) \left(\frac{7}{6} + \frac{i}{6}\right) \left(\frac{7}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}\right) \left(\frac{7}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}\right) 1 ⋅ ( 6 7 − 6 i ) ( 6 7 + 6 i ) ( 6 7 − 6 3 i ) ( 6 7 + 6 3 i ) 325 162 \frac{325}{162} 162 325 x1 = 1.16666666666667 + 0.166666666666667*i x2 = 1.16666666666667 + 0.288675134594813*i x3 = 1.16666666666667 - 0.288675134594813*i x4 = 1.16666666666667 - 0.166666666666667*i