4^x-4=1/2 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4^x-4=1/2

Вы ввели

 x          
4  - 4 = 1/2

$$4^{x} - 4 = \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$4^{x} - 4 = \frac{1}{2}$$
или
$$\left(4^{x} - 4\right) - \frac{1}{2} = 0$$
или
$$4^{x} = \frac{9}{2}$$
или
$$4^{x} = \frac{9}{2}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$v - \frac{9}{2} = 0$$
или
$$v - \frac{9}{2} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{9}{2}$$
Получим ответ: v = 9/2
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(4 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(\frac{9}{2} \right)}}{\log{\left(4 \right)}} = - \frac{1}{2} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ

       1   log(3)
x1 = - - + ------
       2   log(2)

$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

     log(9/2)    pi*I 
x2 = -------- + ------
     2*log(2)   log(2)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(\frac{9}{2} \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

      1   log(3)   log(9/2)    pi*I 
0 + - - + ------ + -------- + ------
      2   log(2)   2*log(2)   log(2)

$$\left(0 - \left(- \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{1}{2}\right)\right) + \left(\frac{\log{\left(\frac{9}{2} \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

  1   log(3)   log(9/2)    pi*I 
- - + ------ + -------- + ------
  2   log(2)   2*log(2)   log(2)

$$- \frac{1}{2} + \frac{\log{\left(\frac{9}{2} \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

  /  1   log(3)\ /log(9/2)    pi*I \
1*|- - + ------|*|-------- + ------|
  \  2   log(2)/ \2*log(2)   log(2)/

$$1 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(\frac{9}{2} \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

                        /       1    \
                        |   ---------|
                        |        2   |
                        |   4*log (2)|
(-log(9/2) - 2*pi*I)*log\2/9         /

$$\left(- \log{\left(\frac{9}{2} \right)} - 2 i \pi\right) \log{\left(\left(\frac{2}{9}\right)^{\frac{1}{4 \log{\left(2 \right)}^{2}}} \right)}$$

Численный ответ

x1 = 1.08496250072116 + 4.53236014182719*i

x2 = 1.08496250072116

График