4^x+2^x=12 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: 4^x+2^x=12
Решение
Подробное решение
Дано уравнение:2 x + 4 x = 12 2^{x} + 4^{x} = 12 2 x + 4 x = 12 или( 2 x + 4 x ) − 12 = 0 \left(2^{x} + 4^{x}\right) - 12 = 0 ( 2 x + 4 x ) − 12 = 0 Сделаем заменуv = 2 x v = 2^{x} v = 2 x получимv 2 + v − 12 = 0 v^{2} + v - 12 = 0 v 2 + v − 12 = 0 илиv 2 + v − 12 = 0 v^{2} + v - 12 = 0 v 2 + v − 12 = 0 Это уравнение видаa*v^2 + b*v + c = 0 Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Корни квадратного уравнения:v 1 = D − b 2 a v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a} v 1 = 2 a D − b v 2 = − D − b 2 a v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a} v 2 = 2 a − D − b где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант. Т.к.a = 1 a = 1 a = 1 b = 1 b = 1 b = 1 c = − 12 c = -12 c = − 12 , тоD = b^2 - 4 * a * c = (1)^2 - 4 * (1) * (-12) = 49 Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a) илиv 1 = 3 v_{1} = 3 v 1 = 3 Упростить v 2 = − 4 v_{2} = -4 v 2 = − 4 Упростить делаем обратную замену2 x = v 2^{x} = v 2 x = v илиx = log ( v ) log ( 2 ) x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}} x = log ( 2 ) log ( v ) Тогда, окончательный ответx 1 = log ( 3 ) log ( 2 ) = log ( 3 ) log ( 2 ) x_{1} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} x 1 = log ( 2 ) log ( 3 ) = log ( 2 ) log ( 3 ) x 2 = log ( − 4 ) log ( 2 ) = log ( 4 ) + i π log ( 2 ) x_{2} = \frac{\log{\left(-4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(4 \right)} + i \pi}{\log{\left(2 \right)}} x 2 = log ( 2 ) log ( − 4 ) = log ( 2 ) log ( 4 ) + iπ
График
-12.5 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 0 10000000
log(3)
x1 = ------
log(2) x 1 = log ( 3 ) log ( 2 ) x_{1} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} x 1 = log ( 2 ) log ( 3 ) log(4) pi*I
x2 = ------ + ------
log(2) log(2) x 2 = log ( 4 ) log ( 2 ) + i π log ( 2 ) x_{2} = \frac{\log{\left(4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} x 2 = log ( 2 ) log ( 4 ) + log ( 2 ) iπ
Сумма и произведение корней
[src] log(3) log(4) pi*I
0 + ------ + ------ + ------
log(2) log(2) log(2) ( 0 + log ( 3 ) log ( 2 ) ) + ( log ( 4 ) log ( 2 ) + i π log ( 2 ) ) \left(0 + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) + \left(\frac{\log{\left(4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right) ( 0 + log ( 2 ) log ( 3 ) ) + ( log ( 2 ) log ( 4 ) + log ( 2 ) iπ ) log(3) log(4) pi*I
------ + ------ + ------
log(2) log(2) log(2) log ( 3 ) log ( 2 ) + log ( 4 ) log ( 2 ) + i π log ( 2 ) \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} log ( 2 ) log ( 3 ) + log ( 2 ) log ( 4 ) + log ( 2 ) iπ log(3) /log(4) pi*I \
1*------*|------ + ------|
log(2) \log(2) log(2)/ 1 log ( 3 ) log ( 2 ) ( log ( 4 ) log ( 2 ) + i π log ( 2 ) ) 1 \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \left(\frac{\log{\left(4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right) 1 log ( 2 ) log ( 3 ) ( log ( 2 ) log ( 4 ) + log ( 2 ) iπ ) (2*log(2) + pi*I)*log(3)
------------------------
2
log (2) ( 2 log ( 2 ) + i π ) log ( 3 ) log ( 2 ) 2 \frac{\left(2 \log{\left(2 \right)} + i \pi\right) \log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}^{2}} log ( 2 ) 2 ( 2 log ( 2 ) + iπ ) log ( 3 ) x1 = 2.0 + 4.53236014182719*i