2z^2+2z+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2z^2+2z+1=0

Вы ввели

   2              
2*z  + 2*z + 1 = 0

$$2 z^{2} + 2 z + 1 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 2$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (2) * (1) = -4

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$$
Упростить
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

       1   I
z1 = - - - -
       2   2

$$z_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$$

       1   I
z2 = - - + -
       2   2

$$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

      1   I     1   I
0 + - - - - + - - + -
      2   2     2   2

$$\left(0 - \left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{i}{2}\right)$$

=

-1

$$-1$$

произведение

  /  1   I\ /  1   I\
1*|- - - -|*|- - + -|
  \  2   2/ \  2   2/

$$1 \left(- \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)$$

=

1/2

$$\frac{1}{2}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$2 z^{2} + 2 z + 1 = 0$$
из
$$a z^{2} + b z + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$z^{2} + \frac{b z}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$z^{2} + z + \frac{1}{2} = 0$$
$$p z + q + z^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 1$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{1}{2}$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} = - p$$
$$z_{1} z_{2} = q$$
$$z_{1} + z_{2} = -1$$
$$z_{1} z_{2} = \frac{1}{2}$$

Численный ответ

z1 = -0.5 + 0.5*i

z2 = -0.5 - 0.5*i

График