25^x+5^x+1-6=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 25^x+5^x+1-6=0

Вы ввели

  x    x            
25  + 5  + 1 - 6 = 0

$$25^{x} + 5^{x} - 6 + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$25^{x} + 5^{x} - 6 + 1 = 0$$
или
$$\left(25^{x} + 5^{x} - 6 + 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$v^{2} + v - 5 = 0$$
или
$$v^{2} + v - 5 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-5) = 21

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(- \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2} \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = \frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2} \right)} + i \pi}{\log{\left(5 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2} \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = \frac{- \log{\left(2 \right)} + \log{\left(-1 + \sqrt{21} \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$

Быстрый ответ

                  /       ____\
     -log(2) + log\-1 + \/ 21 /
x1 = --------------------------
               log(5)          

$$x_{1} = \frac{- \log{\left(2 \right)} + \log{\left(-1 + \sqrt{21} \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$

        /      ____\         
        |1   \/ 21 |         
     log|- + ------|         
        \2     2   /    pi*I 
x2 = --------------- + ------
          log(5)       log(5)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2} \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                    /      ____\         
                                    |1   \/ 21 |         
                 /       ____\   log|- + ------|         
    -log(2) + log\-1 + \/ 21 /      \2     2   /    pi*I 
0 + -------------------------- + --------------- + ------
              log(5)                  log(5)       log(5)

$$\left(0 + \frac{- \log{\left(2 \right)} + \log{\left(-1 + \sqrt{21} \right)}}{\log{\left(5 \right)}}\right) + \left(\frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2} \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}\right)$$

=

                                /      ____\         
                                |1   \/ 21 |         
             /       ____\   log|- + ------|         
-log(2) + log\-1 + \/ 21 /      \2     2   /    pi*I 
-------------------------- + --------------- + ------
          log(5)                  log(5)       log(5)

$$\frac{- \log{\left(2 \right)} + \log{\left(-1 + \sqrt{21} \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2} \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}$$

произведение

                             /   /      ____\         \
                             |   |1   \/ 21 |         |
               /       ____\ |log|- + ------|         |
  -log(2) + log\-1 + \/ 21 / |   \2     2   /    pi*I |
1*--------------------------*|--------------- + ------|
            log(5)           \     log(5)       log(5)/

$$1 \frac{- \log{\left(2 \right)} + \log{\left(-1 + \sqrt{21} \right)}}{\log{\left(5 \right)}} \left(\frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2} \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}\right)$$

=

                              /                1   \
                              |             -------|
                              |                2   |
/     /      ____\       \    |             log (5)|
|     |1   \/ 21 |       |    |/     2     \       |
|- log|- + ------| - pi*I|*log||-----------|       |
\     \2     2   /       /    ||       ____|       |
                              \\-1 + \/ 21 /       /

$$\left(- \log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2} \right)} - i \pi\right) \log{\left(\left(\frac{2}{-1 + \sqrt{21}}\right)^{\frac{1}{\log{\left(5 \right)}^{2}}} \right)}$$

Численный ответ

x1 = 0.362197773844452

x2 = 0.637802226155548 + 1.95198126583117*i

График