sqrt(5x-3)-sqrt(2x-1)=sqrt(3x-2) (уравнение)

Найду корень уравнения: sqrt(5x-3)-sqrt(2x-1)=sqrt(3x-2)

Вы ввели

  _________     _________     _________
\/ 5*x - 3  - \/ 2*x - 1  = \/ 3*x - 2 

$$- \sqrt{2 x - 1} + \sqrt{5 x - 3} = \sqrt{3 x - 2}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$- \sqrt{2 x - 1} + \sqrt{5 x - 3} = \sqrt{3 x - 2}$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$\left(- \sqrt{2 x - 1} + \sqrt{5 x - 3}\right)^{2} = 3 x - 2$$
или
$$1^{2} \cdot \left(5 x - 3\right) + \left(\left(-1\right) 2 \cdot 1 \sqrt{\left(3 x - 2\right) \left(5 x - 3\right)} + \left(-1\right)^{2} \cdot \left(3 x - 2\right)\right) = 3 x - 2$$
или
$$8 x - 2 \sqrt{15 x^{2} - 19 x + 6} - 5 = 3 x - 2$$
преобразуем:
$$- 2 \sqrt{15 x^{2} - 19 x + 6} = 3 - 5 x$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$60 x^{2} - 76 x + 24 = \left(3 - 5 x\right)^{2}$$
$$60 x^{2} - 76 x + 24 = 25 x^{2} - 30 x + 9$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$35 x^{2} - 46 x + 15 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 35$$
$$b = -46$$
$$c = 15$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-46)^2 - 4 * (35) * (15) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{5}{7}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{3}{5}$$
Упростить

Т.к.
$$\sqrt{15 x^{2} - 19 x + 6} = \frac{5 x}{2} - \frac{3}{2}$$
и
$$\sqrt{15 x^{2} - 19 x + 6} \geq 0$$
то
$$\frac{5 x}{2} - \frac{3}{2} \geq 0$$
или
$$\frac{3}{5} \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = \frac{5}{7}$$
$$x_{2} = \frac{3}{5}$$
проверяем:
$$x_{1} = \frac{5}{7}$$
$$- \sqrt{2 x_{1} - 1} - \sqrt{3 x_{1} - 2} + \sqrt{5 x_{1} - 3} = 0$$
=
$$- \sqrt{\left(-1\right) 2 + 3 \cdot \frac{5}{7}} - \left(- \sqrt{\left(-1\right) 3 + 5 \cdot \frac{5}{7}} + \sqrt{\left(-1\right) 1 + 2 \cdot \frac{5}{7}}\right) = 0$$
=

sqrt(25/7 - 1*3) - sqrt(10/7 - 1*1) - sqrt(15/7 - 1*2) = 0

- Нет
$$x_{2} = \frac{3}{5}$$
$$- \sqrt{2 x_{2} - 1} - \sqrt{3 x_{2} - 2} + \sqrt{5 x_{2} - 3} = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{\left(-1\right) 1 + 2 \cdot \frac{3}{5}} + \sqrt{\left(-1\right) 3 + 5 \cdot \frac{3}{5}}\right) - \sqrt{\left(-1\right) 2 + 3 \cdot \frac{3}{5}} = 0$$
=

sqrt(3 - 1*3) - sqrt(6/5 - 1*1) - sqrt(9/5 - 1*2) = 0

- Нет
Тогда, окончательный ответ:
Данное ур-ние не имеет решений

Быстрый ответ

x1 = 1/2

$$x_{1} = \frac{1}{2}$$

x2 = 2/3

$$x_{2} = \frac{2}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 + 1/2 + 2/3

$$\left(0 + \frac{1}{2}\right) + \frac{2}{3}$$

=

7/6

$$\frac{7}{6}$$

произведение

1*1/2*2/3

$$1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$$

=

1/3

$$\frac{1}{3}$$

Численный ответ

x1 = 0.5

x2 = 0.666666666666667

График