5*sin(x)^(2)-14*cos(x)-2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 5*sin(x)^(2)-14*cos(x)-2=0

Вы ввели

     2                       
5*sin (x) - 14*cos(x) - 2 = 0

$$5 \sin^{2}{\left(x \right)} - 14 \cos{\left(x \right)} - 2 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$5 \sin^{2}{\left(x \right)} - 14 \cos{\left(x \right)} - 2 = 0$$
преобразуем
$$- 5 \cos^{2}{\left(x \right)} - 14 \cos{\left(x \right)} + 3 = 0$$
$$- 5 \cos^{2}{\left(x \right)} - 14 \cos{\left(x \right)} - 2 + 5 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -5$$
$$b = -14$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-14)^2 - 4 * (-5) * (3) = 256

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = -3$$
Упростить
$$w_{2} = \frac{1}{5}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-3 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-3 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-3 \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-3 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          /  ___\         /  ___\                                                                                          
          |\/ 6 |         |\/ 6 |       /     /  ___\\         /     /  ___\\         /     /  ___\\         /     /  ___\\
0 - 2*atan|-----| + 2*atan|-----| + 2*im\atanh\\/ 2 // - 2*I*re\atanh\\/ 2 // + - 2*im\atanh\\/ 2 // + 2*I*re\atanh\\/ 2 //
          \  3  /         \  3  /                                                                                          

$$\left(\left(\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right)} + 0\right) + 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right)}\right) + \left(2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}\right)\right) - \left(2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

         /  ___\       /  ___\                                                                                          
         |\/ 6 |       |\/ 6 | /    /     /  ___\\         /     /  ___\\\ /      /     /  ___\\         /     /  ___\\\
1*-2*atan|-----|*2*atan|-----|*\2*im\atanh\\/ 2 // - 2*I*re\atanh\\/ 2 ///*\- 2*im\atanh\\/ 2 // + 2*I*re\atanh\\/ 2 ///
         \  3  /       \  3  /                                                                                          

$$1 \left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right)}\right) 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right)} \left(2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}\right)$$

=

                                            2      /  ___\
   /      /     /  ___\\     /     /  ___\\\      2|\/ 6 |
16*\- I*re\atanh\\/ 2 // + im\atanh\\/ 2 /// *atan |-----|
                                                   \  3  /

$$16 \left(\operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} - i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}\right)^{2} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right)}$$

Быстрый ответ

            /  ___\
            |\/ 6 |
x1 = -2*atan|-----|
            \  3  /

$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right)}$$

           /  ___\
           |\/ 6 |
x2 = 2*atan|-----|
           \  3  /

$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right)}$$

         /     /  ___\\         /     /  ___\\
x3 = 2*im\atanh\\/ 2 // - 2*I*re\atanh\\/ 2 //

$$x_{3} = 2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}$$

           /     /  ___\\         /     /  ___\\
x4 = - 2*im\atanh\\/ 2 // + 2*I*re\atanh\\/ 2 //

$$x_{4} = - 2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}$$

Численный ответ

x1 = 55.1792293586117

x2 = 7.65262371318415

x3 = 30.0464881298934

x4 = -45.3517355562617

x5 = -95.6172180136984

x6 = -86.5951558945096

x7 = -76.7676620921596

x8 = 92.8783412016892

x9 = -17.4801175155342

x10 = 45.3517355562617

x11 = 42.6128587442525

x12 = -36.329673437073

x13 = -57.9181061706208

x14 = 64.2012914778004

x15 = 86.5951558945096

x16 = -89.3340327065188

x17 = 48.8960440514321

x18 = -11.1969322083546

x19 = -30.0464881298934

x20 = -23.7633028227138

x21 = -13.9358090203637

x22 = 70.48447678498

x23 = 32.7853649419025

x24 = -4.91374690117502

x25 = -1.36943840600457

x26 = 1.36943840600457

x27 = 36.329673437073

x28 = -67.7455999729709

x29 = 67.7455999729709

x30 = -48.8960440514321

x31 = -92.8783412016892

x32 = -26.5021796347229

x33 = 99.1615265088688

x34 = -70.48447678498

x35 = 20.2189943275433

x36 = -183.581812314213

x37 = -51.6349208634413

x38 = 13.9358090203637

x39 = 51.6349208634413

x40 = -74.0287852801505

x41 = 39.0685502490821

x42 = -80.3119705873301

x43 = 23.7633028227138

x44 = -287.657085724256

x45 = -55.1792293586117

x46 = -42.6128587442525

x47 = 80.3119705873301

x48 = -32.7853649419025

x49 = 26.5021796347229

x50 = -7.65262371318415

x51 = 4.91374690117502

x52 = -20.2189943275433

x53 = 11.1969322083546

x54 = 61.4624146657913

x55 = -83.0508473993392

x56 = 76.7676620921596

x57 = 57.9181061706208

x58 = 83.0508473993392

x59 = -61.4624146657913

x60 = 95.6172180136984

x61 = 74.0287852801505

x62 = 17.4801175155342

x63 = -99.1615265088688

x64 = -111.727897123228

x65 = -64.2012914778004

x66 = 89.3340327065188

x67 = -39.0685502490821

График