5^(2*x)-5^x-600=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 5^(2*x)-5^x-600=0

Вы ввели

 2*x    x          
5    - 5  - 600 = 0

$$5^{2 x} - 5^{x} - 600 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$5^{2 x} - 5^{x} - 600 = 0$$
или
$$\left(5^{2 x} - 5^{x} - 600\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$v^{2} - v - 600 = 0$$
или
$$v^{2} - v - 600 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -600$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-600) = 2401

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 25$$
Упростить
$$v_{2} = -24$$
Упростить
делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(-24 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = \frac{\log{\left(24 \right)} + i \pi}{\log{\left(5 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(25 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = 2$$

Быстрый ответ

x1 = 2

$$x_{1} = 2$$

     log(24)    pi*I 
x2 = ------- + ------
      log(5)   log(5)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(24 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        log(24)    pi*I 
0 + 2 + ------- + ------
         log(5)   log(5)

$$\left(0 + 2\right) + \left(\frac{\log{\left(24 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}\right)$$

=

    log(24)    pi*I 
2 + ------- + ------
     log(5)   log(5)

$$\frac{\log{\left(24 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + 2 + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}$$

произведение

    /log(24)    pi*I \
1*2*|------- + ------|
    \ log(5)   log(5)/

$$1 \cdot 2 \left(\frac{\log{\left(24 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}\right)$$

=

2*(pi*I + log(24))
------------------
      log(5)      

$$\frac{2 \left(\log{\left(24 \right)} + i \pi\right)}{\log{\left(5 \right)}}$$

Численный ответ

x1 = 2.0

x2 = 1.97463586870616 + 1.95198126583117*i