y^2=cx (уравнение)

Найду корень уравнения: y^2=cx

Вы ввели

 2      
y  = c*x

$$y^{2} = c x$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$y^{2} = c x$$
в
$$- c x + y^{2} = 0$$
Это уравнение вида

a*y^2 + b*y + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$y_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$y_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = - c x$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-c*x) = 4*c*x

Уравнение имеет два корня.

y1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

y2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$y_{1} = \sqrt{c x}$$
Упростить
$$y_{2} = - \sqrt{c x}$$
Упростить

Быстрый ответ

          _____________________                                     _____________________                             
       4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\     4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\
y1 = - \/  im (c*x) + re (c*x) *cos|-----------------------| - I*\/  im (c*x) + re (c*x) *sin|-----------------------|
                                   \           2           /                                 \           2           /

$$y_{1} = - i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)}$$

        _____________________                                     _____________________                             
     4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\     4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\
y2 = \/  im (c*x) + re (c*x) *cos|-----------------------| + I*\/  im (c*x) + re (c*x) *sin|-----------------------|
                                 \           2           /                                 \           2           /

$$y_{2} = i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

     _____________________                                     _____________________                                   _____________________                                     _____________________                             
  4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\     4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\   4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\     4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\
- \/  im (c*x) + re (c*x) *cos|-----------------------| - I*\/  im (c*x) + re (c*x) *sin|-----------------------| + \/  im (c*x) + re (c*x) *cos|-----------------------| + I*\/  im (c*x) + re (c*x) *sin|-----------------------|
                              \           2           /                                 \           2           /                               \           2           /                                 \           2           /

$$\left(- i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)}\right) + \left(i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

/     _____________________                                     _____________________                             \ /   _____________________                                     _____________________                             \
|  4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\     4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\| |4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\     4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\|
|- \/  im (c*x) + re (c*x) *cos|-----------------------| - I*\/  im (c*x) + re (c*x) *sin|-----------------------||*|\/  im (c*x) + re (c*x) *cos|-----------------------| + I*\/  im (c*x) + re (c*x) *sin|-----------------------||
\                              \           2           /                                 \           2           // \                            \           2           /                                 \           2           //

$$\left(- i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)}\right) \left(i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)}\right)$$

=

    _____________________                           
   /   2          2        I*atan2(im(c*x), re(c*x))
-\/  im (c*x) + re (c*x) *e                         

$$- \sqrt{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} e^{i \operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p y + q + y^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - c x$$
Формулы Виета
$$y_{1} + y_{2} = - p$$
$$y_{1} y_{2} = q$$
$$y_{1} + y_{2} = 0$$
$$y_{1} y_{2} = - c x$$