y^7=6118 (уравнение)

Найду корень уравнения: y^7=6118

Вы ввели

 7       
y  = 6118

$$y^{7} = 6118$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$y^{7} = 6118$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 7 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 7-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[7]{y^{7}} = \sqrt[7]{6118}$$
или
$$y = \sqrt[7]{6118}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

y = 6118^1/7

Получим ответ: y = 6118^(1/7)

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = y$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{7} = 6118$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{7} e^{7 i p} = 6118$$
где
$$r = \sqrt[7]{6118}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{7 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(7 p \right)} + \cos{\left(7 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(7 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(7 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{7}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[7]{6118}$$
$$z_{2} = - \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{3} = - \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{4} = \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{5} = \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{6} = - \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{7} = - \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = y$$
$$y = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$y_{1} = \sqrt[7]{6118}$$
$$y_{2} = - \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$y_{3} = - \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$y_{4} = \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$y_{5} = \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$y_{6} = - \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$y_{7} = - \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$

Быстрый ответ

     7 ______
y1 = \/ 6118 

$$y_{1} = \sqrt[7]{6118}$$

       7 ______    /pi\     7 ______    /pi\
y2 = - \/ 6118 *cos|--| - I*\/ 6118 *sin|--|
                   \7 /                 \7 /

$$y_{2} = - \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$

       7 ______    /pi\     7 ______    /pi\
y3 = - \/ 6118 *cos|--| + I*\/ 6118 *sin|--|
                   \7 /                 \7 /

$$y_{3} = - \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$

     7 ______    /2*pi\     7 ______    /2*pi\
y4 = \/ 6118 *cos|----| - I*\/ 6118 *sin|----|
                 \ 7  /                 \ 7  /

$$y_{4} = \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$

     7 ______    /2*pi\     7 ______    /2*pi\
y5 = \/ 6118 *cos|----| + I*\/ 6118 *sin|----|
                 \ 7  /                 \ 7  /

$$y_{5} = \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$

       7 ______    /3*pi\     7 ______    /3*pi\
y6 = - \/ 6118 *cos|----| - I*\/ 6118 *sin|----|
                   \ 7  /                 \ 7  /

$$y_{6} = - \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$

       7 ______    /3*pi\     7 ______    /3*pi\
y7 = - \/ 6118 *cos|----| + I*\/ 6118 *sin|----|
                   \ 7  /                 \ 7  /

$$y_{7} = - \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

7 ______     7 ______    /pi\     7 ______    /pi\     7 ______    /pi\     7 ______    /pi\   7 ______    /2*pi\     7 ______    /2*pi\   7 ______    /2*pi\     7 ______    /2*pi\     7 ______    /3*pi\     7 ______    /3*pi\     7 ______    /3*pi\     7 ______    /3*pi\
\/ 6118  + - \/ 6118 *cos|--| - I*\/ 6118 *sin|--| + - \/ 6118 *cos|--| + I*\/ 6118 *sin|--| + \/ 6118 *cos|----| - I*\/ 6118 *sin|----| + \/ 6118 *cos|----| + I*\/ 6118 *sin|----| + - \/ 6118 *cos|----| - I*\/ 6118 *sin|----| + - \/ 6118 *cos|----| + I*\/ 6118 *sin|----|
                         \7 /                 \7 /                 \7 /                 \7 /               \ 7  /                 \ 7  /               \ 7  /                 \ 7  /                 \ 7  /                 \ 7  /                 \ 7  /                 \ 7  /

$$\left(\left(- \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right) + \left(\left(\left(\sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) + \left(\left(\sqrt[7]{6118} + \left(- \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right)\right) + \left(- \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right)\right)\right) + \left(\sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right)\right)\right) + \left(- \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right)$$

=

7 ______     7 ______    /pi\     7 ______    /3*pi\     7 ______    /2*pi\
\/ 6118  - 2*\/ 6118 *cos|--| - 2*\/ 6118 *cos|----| + 2*\/ 6118 *cos|----|
                         \7 /                 \ 7  /                 \ 7  /

$$- 2 \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{6118} + 2 \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$

произведение

7 ______ /  7 ______    /pi\     7 ______    /pi\\ /  7 ______    /pi\     7 ______    /pi\\ /7 ______    /2*pi\     7 ______    /2*pi\\ /7 ______    /2*pi\     7 ______    /2*pi\\ /  7 ______    /3*pi\     7 ______    /3*pi\\ /  7 ______    /3*pi\     7 ______    /3*pi\\
\/ 6118 *|- \/ 6118 *cos|--| - I*\/ 6118 *sin|--||*|- \/ 6118 *cos|--| + I*\/ 6118 *sin|--||*|\/ 6118 *cos|----| - I*\/ 6118 *sin|----||*|\/ 6118 *cos|----| + I*\/ 6118 *sin|----||*|- \/ 6118 *cos|----| - I*\/ 6118 *sin|----||*|- \/ 6118 *cos|----| + I*\/ 6118 *sin|----||
         \              \7 /                 \7 // \              \7 /                 \7 // \            \ 7  /                 \ 7  // \            \ 7  /                 \ 7  // \              \ 7  /                 \ 7  // \              \ 7  /                 \ 7  //

$$\sqrt[7]{6118} \left(- \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right) \left(- \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right) \left(\sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) \left(\sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) \left(- \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right) \left(- \sqrt[7]{6118} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{6118} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right)$$

=

6118

$$6118$$

Численный ответ

y1 = 2.16657418761166 + 2.71679809986882*i

y2 = -3.13079041103764 + 1.50770919876172*i

y3 = -0.773241375040523 - 3.38779181795479*i

y4 = -0.773241375040523 + 3.38779181795479*i

y5 = -3.13079041103764 - 1.50770919876172*i

y6 = 2.16657418761166 - 2.71679809986882*i

y7 = 3.47491519693301

График