y^6=-240 (уравнение)

Найду корень уравнения: y^6=-240

Вы ввели

 6       
y  = -240

$$y^{6} = -240$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$y^{6} = -240$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -240 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = y$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = -240$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -240$$
где
$$r = \sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = y$$
$$y = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$y_{1} = - \sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$y_{2} = \sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$y_{3} = - \frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$y_{4} = - \frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$y_{5} = \frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$y_{6} = \frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

Быстрый ответ

         2/3 6 ____
y1 = -I*2   *\/ 15 

$$y_{1} = - \sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i$$

        2/3 6 ____
y2 = I*2   *\/ 15 

$$y_{2} = \sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i$$

       6 ___  2/3      2/3 6 ____
       \/ 5 *6      I*2   *\/ 15 
y3 = - ---------- - -------------
           2              2      

$$y_{3} = - \frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

       6 ___  2/3      2/3 6 ____
       \/ 5 *6      I*2   *\/ 15 
y4 = - ---------- + -------------
           2              2      

$$y_{4} = - \frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

     6 ___  2/3      2/3 6 ____
     \/ 5 *6      I*2   *\/ 15 
y5 = ---------- - -------------
         2              2      

$$y_{5} = \frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

     6 ___  2/3      2/3 6 ____
     \/ 5 *6      I*2   *\/ 15 
y6 = ---------- + -------------
         2              2      

$$y_{6} = \frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                    6 ___  2/3      2/3 6 ____     6 ___  2/3      2/3 6 ____   6 ___  2/3      2/3 6 ____   6 ___  2/3      2/3 6 ____
     2/3 6 ____      2/3 6 ____     \/ 5 *6      I*2   *\/ 15      \/ 5 *6      I*2   *\/ 15    \/ 5 *6      I*2   *\/ 15    \/ 5 *6      I*2   *\/ 15 
- I*2   *\/ 15  + I*2   *\/ 15  + - ---------- - ------------- + - ---------- + ------------- + ---------- - ------------- + ---------- + -------------
                                        2              2               2              2             2              2             2              2      

$$\left(\left(\frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(- \sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i + \sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                             /  6 ___  2/3      2/3 6 ____\ /  6 ___  2/3      2/3 6 ____\ /6 ___  2/3      2/3 6 ____\ /6 ___  2/3      2/3 6 ____\
    2/3 6 ____    2/3 6 ____ |  \/ 5 *6      I*2   *\/ 15 | |  \/ 5 *6      I*2   *\/ 15 | |\/ 5 *6      I*2   *\/ 15 | |\/ 5 *6      I*2   *\/ 15 |
-I*2   *\/ 15 *I*2   *\/ 15 *|- ---------- - -------------|*|- ---------- + -------------|*|---------- - -------------|*|---------- + -------------|
                             \      2              2      / \      2              2      / \    2              2      / \    2              2      /

$$- \sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i \sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i \left(- \frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{5} \cdot 6^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)$$

=

240

$$240$$

Численный ответ

y1 = 2.15889989553263 + 1.24644143583922*i

y2 = -2.49288287167843*i

y3 = -2.15889989553263 + 1.24644143583922*i

y4 = 2.49288287167843*i

y5 = 2.15889989553263 - 1.24644143583922*i

y6 = -2.15889989553263 - 1.24644143583922*i

График