x²+(y-3√x²)²=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: x²+(y-3√x²)²=1

Вы ввели

                   2    
     /           2\     
 2   |        ___ |     
x  + \y - 3*\/ x  /  = 1

$$x^{2} + \left(- 3 \left(\sqrt{x}\right)^{2} + y\right)^{2} = 1$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + \left(- 3 \left(\sqrt{x}\right)^{2} + y\right)^{2} = 1$$
в
$$\left(x^{2} + \left(- 3 \left(\sqrt{x}\right)^{2} + y\right)^{2}\right) - 1 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x^{2} + \left(- 3 \left(\sqrt{x}\right)^{2} + y\right)^{2}\right) - 1 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$10 x^{2} - 6 x y + y^{2} - 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 10$$
$$b = - 6 y$$
$$c = y^{2} - 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-6*y)^2 - 4 * (10) * (-1 + y^2) = 40 - 4*y^2

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{3 y}{10} + \frac{\sqrt{40 - 4 y^{2}}}{20}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{3 y}{10} - \frac{\sqrt{40 - 4 y^{2}}}{20}$$
Упростить

Быстрый ответ

          _________      
         /       2       
       \/  10 - y     3*y
x1 = - ------------ + ---
            10         10

$$x_{1} = \frac{3 y}{10} - \frac{\sqrt{10 - y^{2}}}{10}$$

        _________      
       /       2       
     \/  10 - y     3*y
x2 = ------------ + ---
          10         10

$$x_{2} = \frac{3 y}{10} + \frac{\sqrt{10 - y^{2}}}{10}$$

Сумма и произведение корней

сумма

         _________            _________      
        /       2            /       2       
      \/  10 - y     3*y   \/  10 - y     3*y
0 + - ------------ + --- + ------------ + ---
           10         10        10         10

$$\left(\frac{3 y}{10} + \frac{\sqrt{10 - y^{2}}}{10}\right) + \left(\left(\frac{3 y}{10} - \frac{\sqrt{10 - y^{2}}}{10}\right) + 0\right)$$

=

3*y
---
 5 

$$\frac{3 y}{5}$$

произведение

  /     _________      \ /   _________      \
  |    /       2       | |  /       2       |
  |  \/  10 - y     3*y| |\/  10 - y     3*y|
1*|- ------------ + ---|*|------------ + ---|
  \       10         10/ \     10         10/

$$1 \cdot \left(\frac{3 y}{10} - \frac{\sqrt{10 - y^{2}}}{10}\right) \left(\frac{3 y}{10} + \frac{\sqrt{10 - y^{2}}}{10}\right)$$

=

        2
  1    y 
- -- + --
  10   10

$$\frac{y^{2}}{10} - \frac{1}{10}$$