(x-2)^4-(x-2)^2-6=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x-2)^4-(x-2)^2-6=0

Вы ввели

       4          2        
(x - 2)  - (x - 2)  - 6 = 0

$$\left(x - 2\right)^{4} - \left(x - 2\right)^{2} - 6 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(x - 2\right)^{4} - \left(x - 2\right)^{2} - 6 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(x - 2\right)^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - v - 6 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -6$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-6) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 3$$
Упростить
$$v_{2} = -2$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = \left(x - 2\right)^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}} + 2$$
$$x_{2} = 2 - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}} + 2$$
$$x_{4} = 2 - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{1 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{2}{1} = \sqrt{3} + 2$$
$$x_{2} = \frac{\left(-1\right) 3^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{2}{1} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \frac{2}{1} + \frac{1 \left(-2\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = 2 + \sqrt{2} i$$
$$x_{4} = \frac{2}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-2\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = 2 - \sqrt{2} i$$

Быстрый ответ

           ___
x1 = 2 - \/ 3 

$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$

           ___
x2 = 2 + \/ 3 

$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$

             ___
x3 = 2 - I*\/ 2 

$$x_{3} = 2 - \sqrt{2} i$$

             ___
x4 = 2 + I*\/ 2 

$$x_{4} = 2 + \sqrt{2} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

          ___         ___           ___           ___
0 + 2 - \/ 3  + 2 + \/ 3  + 2 - I*\/ 2  + 2 + I*\/ 2 

$$\left(\left(\left(0 + \left(2 - \sqrt{3}\right)\right) + \left(\sqrt{3} + 2\right)\right) + \left(2 - \sqrt{2} i\right)\right) + \left(2 + \sqrt{2} i\right)$$

=

8

$$8$$

произведение

  /      ___\ /      ___\ /        ___\ /        ___\
1*\2 - \/ 3 /*\2 + \/ 3 /*\2 - I*\/ 2 /*\2 + I*\/ 2 /

$$1 \cdot \left(2 - \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{3} + 2\right) \left(2 - \sqrt{2} i\right) \left(2 + \sqrt{2} i\right)$$

=

6

$$6$$

Численный ответ

x1 = 0.267949192431123

x2 = 3.73205080756888

x3 = 2.0 + 1.4142135623731*i

x4 = 2.0 - 1.4142135623731*i

График