х|х+1|+а=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: х|х+1|+а=0

Вы ввели

x*|x + 1| + a = 0

$$a + x \left|{x + 1}\right| = 0$$

Подробное решение

Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x + 1 \geq 0$$
или
$$-1 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$a + x \left(x + 1\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$a + x \left(x + 1\right) = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{1 - 4 a}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{1 - 4 a}}{2} - \frac{1}{2}$$

2.
$$x + 1 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < -1$$
получаем ур-ние
$$a + x \left(- x - 1\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$a + x \left(- x - 1\right) = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{4 a + 1}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{4 a + 1}}{2} - \frac{1}{2}$$


Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{1 - 4 a}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{1 - 4 a}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{4 a + 1}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{4 a + 1}}{2} - \frac{1}{2}$$

Быстрый ответ

         //        _________              _________     \     //        _________              _________     \
         ||  1   \/ 1 - 4*a         1   \/ 1 - 4*a      |     ||  1   \/ 1 - 4*a         1   \/ 1 - 4*a      |
         ||- - - -----------  for - - + ----------- <= 0|     ||- - - -----------  for - - + ----------- <= 0|
x1 = I*im|<  2        2             2        2          | + re|<  2        2             2        2          |
         ||                                             |     ||                                             |
         ||       nan                 otherwise         |     ||       nan                 otherwise         |
         \\                                             /     \\                                             /

$$x_{1} = \operatorname{re}{\left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{1 - 4 a}}{2} - \frac{1}{2} & \text{for}\: \frac{\sqrt{1 - 4 a}}{2} - \frac{1}{2} \leq 0 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{1 - 4 a}}{2} - \frac{1}{2} & \text{for}\: \frac{\sqrt{1 - 4 a}}{2} - \frac{1}{2} \leq 0 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}\right)}$$

         //        _________            _________     \     //        _________            _________     \
         ||  1   \/ 1 - 4*a       1   \/ 1 - 4*a      |     ||  1   \/ 1 - 4*a       1   \/ 1 - 4*a      |
         ||- - + -----------  for - + ----------- >= 0|     ||- - + -----------  for - + ----------- >= 0|
x2 = I*im|<  2        2           2        2          | + re|<  2        2           2        2          |
         ||                                           |     ||                                           |
         ||       nan                otherwise        |     ||       nan                otherwise        |
         \\                                           /     \\                                           /

$$x_{2} = \operatorname{re}{\left(\begin{cases} \frac{\sqrt{1 - 4 a}}{2} - \frac{1}{2} & \text{for}\: \frac{\sqrt{1 - 4 a}}{2} + \frac{1}{2} \geq 0 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\begin{cases} \frac{\sqrt{1 - 4 a}}{2} - \frac{1}{2} & \text{for}\: \frac{\sqrt{1 - 4 a}}{2} + \frac{1}{2} \geq 0 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}\right)}$$

         //        _________              _________    \     //        _________              _________    \
         ||  1   \/ 1 + 4*a         1   \/ 1 + 4*a     |     ||  1   \/ 1 + 4*a         1   \/ 1 + 4*a     |
         ||- - - -----------  for - - + ----------- > 0|     ||- - - -----------  for - - + ----------- > 0|
x3 = I*im|<  2        2             2        2         | + re|<  2        2             2        2         |
         ||                                            |     ||                                            |
         ||       nan                 otherwise        |     ||       nan                 otherwise        |
         \\                                            /     \\                                            /

$$x_{3} = \operatorname{re}{\left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{4 a + 1}}{2} - \frac{1}{2} & \text{for}\: \frac{\sqrt{4 a + 1}}{2} - \frac{1}{2} > 0 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{4 a + 1}}{2} - \frac{1}{2} & \text{for}\: \frac{\sqrt{4 a + 1}}{2} - \frac{1}{2} > 0 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}\right)}$$

         //        _________            _________    \     //        _________            _________    \
         ||  1   \/ 1 + 4*a       1   \/ 1 + 4*a     |     ||  1   \/ 1 + 4*a       1   \/ 1 + 4*a     |
         ||- - + -----------  for - + ----------- < 0|     ||- - + -----------  for - + ----------- < 0|
x4 = I*im|<  2        2           2        2         | + re|<  2        2           2        2         |
         ||                                          |     ||                                          |
         ||       nan                otherwise       |     ||       nan                otherwise       |
         \\                                          /     \\                                          /

$$x_{4} = \operatorname{re}{\left(\begin{cases} \frac{\sqrt{4 a + 1}}{2} - \frac{1}{2} & \text{for}\: \frac{\sqrt{4 a + 1}}{2} + \frac{1}{2} < 0 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\begin{cases} \frac{\sqrt{4 a + 1}}{2} - \frac{1}{2} & \text{for}\: \frac{\sqrt{4 a + 1}}{2} + \frac{1}{2} < 0 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}\right)}$$