(x+y)^2=2y (уравнение)

Найду корень уравнения: (x+y)^2=2y

Вы ввели

       2      
(x + y)  = 2*y

$$\left(x + y\right)^{2} = 2 y$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(x + y\right)^{2} = 2 y$$
в
$$- 2 y + \left(x + y\right)^{2} = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$- 2 y + \left(x + y\right)^{2} = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 2 y = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2 y$$
$$c = y^{2} - 2 y$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2*y)^2 - 4 * (1) * (y^2 - 2*y) = 8*y

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \sqrt{2} \sqrt{y} - y$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} \sqrt{y} - y$$

Быстрый ответ

                /                  _________________                         \            _________________                         
                |           ___ 4 /   2        2        /atan2(im(y), re(y))\|     ___ 4 /   2        2        /atan2(im(y), re(y))\
x1 = -re(y) + I*|-im(y) - \/ 2 *\/  im (y) + re (y) *sin|-------------------|| - \/ 2 *\/  im (y) + re (y) *cos|-------------------|
                \                                       \         2         //                                 \         2         /

$$x_{1} = i \left(- \sqrt{2} \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(y\right)},\operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}{2} \right)} - \operatorname{im}{\left(y\right)}\right) - \sqrt{2} \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(y\right)},\operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}{2} \right)} - \operatorname{re}{\left(y\right)}$$

                /                  _________________                         \            _________________                         
                |           ___ 4 /   2        2        /atan2(im(y), re(y))\|     ___ 4 /   2        2        /atan2(im(y), re(y))\
x2 = -re(y) + I*|-im(y) + \/ 2 *\/  im (y) + re (y) *sin|-------------------|| + \/ 2 *\/  im (y) + re (y) *cos|-------------------|
                \                                       \         2         //                                 \         2         /

$$x_{2} = i \left(\sqrt{2} \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(y\right)},\operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}{2} \right)} - \operatorname{im}{\left(y\right)}\right) + \sqrt{2} \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(y\right)},\operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}{2} \right)} - \operatorname{re}{\left(y\right)}$$