x^9=8 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^9=8

Вы ввели

 9    
x  = 8

$$x^{9} = 8$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{9} = 8$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 9 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 9-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[9]{x^{9}} = \sqrt[9]{8}$$
или
$$x = \sqrt[3]{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2^1/3

Получим ответ: x = 2^(1/3)

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{9} = 8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{9} e^{9 i p} = 8$$
где
$$r = \sqrt[3]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{9 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(9 p \right)} + \cos{\left(9 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(9 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(9 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{9}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{5} = - \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{6} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{7} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{8} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{9} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[3]{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{5} = - \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{6} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{7} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{8} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{9} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$

Быстрый ответ

     3 ___
x1 = \/ 2 

$$x_{1} = \sqrt[3]{2}$$

       3 ___     3 ___   ___
       \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
x2 = - ----- - -------------
         2           2      

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$

       3 ___     3 ___   ___
       \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
x3 = - ----- + -------------
         2           2      

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$

       3 ___    /pi\     3 ___    /pi\
x4 = - \/ 2 *cos|--| - I*\/ 2 *sin|--|
                \9 /              \9 /

$$x_{4} = - \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

       3 ___    /pi\     3 ___    /pi\
x5 = - \/ 2 *cos|--| + I*\/ 2 *sin|--|
                \9 /              \9 /

$$x_{5} = - \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

     3 ___    /2*pi\     3 ___    /2*pi\
x6 = \/ 2 *cos|----| - I*\/ 2 *sin|----|
              \ 9  /              \ 9  /

$$x_{6} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$

     3 ___    /2*pi\     3 ___    /2*pi\
x7 = \/ 2 *cos|----| + I*\/ 2 *sin|----|
              \ 9  /              \ 9  /

$$x_{7} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$

     3 ___    /4*pi\     3 ___    /4*pi\
x8 = \/ 2 *cos|----| - I*\/ 2 *sin|----|
              \ 9  /              \ 9  /

$$x_{8} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$

     3 ___    /4*pi\     3 ___    /4*pi\
x9 = \/ 2 *cos|----| + I*\/ 2 *sin|----|
              \ 9  /              \ 9  /

$$x_{9} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$

Численный ответ

x1 = 0.21878299431845 + 1.24078001811975*i

x2 = 1.25992104989487

x3 = 0.21878299431845 - 1.24078001811975*i

x4 = 0.965155519040596 - 0.809861640055681*i

x5 = -1.18393851335905 - 0.430918378064072*i

x6 = -0.629960524947437 - 1.09112363597172*i

x7 = -1.18393851335905 + 0.430918378064072*i

x8 = 0.965155519040596 + 0.809861640055681*i

x9 = -0.629960524947437 + 1.09112363597172*i

График