x^2+y^2=z^2 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^2+y^2=z^2

Вы ввели

 2    2    2
x  + y  = z 

$$x^{2} + y^{2} = z^{2}$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + y^{2} = z^{2}$$
в
$$- z^{2} + \left(x^{2} + y^{2}\right) = 0$$
Это уравнение вида
$$a*x^2 + b*x + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = y^{2} - z^{2}$$
, то
$$D = b^2 - 4 * a * c =$$
$$- 1 \cdot 4 \left(y^{2} - z^{2}\right) + 0^{2} = - 4 y^{2} + 4 z^{2}$$
Уравнение имеет два корня.
$$x_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$x_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- 4 y^{2} + 4 z^{2}}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 4 y^{2} + 4 z^{2}}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

          _________
         /  2    2 
x_1 = -\/  z  - y  

$$x_{1} = - \sqrt{- y^{2} + z^{2}}$$

         _________
        /  2    2 
x_2 = \/  z  - y  

$$x_{2} = \sqrt{- y^{2} + z^{2}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    _________      _________
   /  2    2      /  2    2 
-\/  z  - y   + \/  z  - y  

$$\left(- \sqrt{- y^{2} + z^{2}}\right) + \left(\sqrt{- y^{2} + z^{2}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

    _________      _________
   /  2    2      /  2    2 
-\/  z  - y   * \/  z  - y  

$$\left(- \sqrt{- y^{2} + z^{2}}\right) * \left(\sqrt{- y^{2} + z^{2}}\right)$$

=

 2    2
y  - z 

$$y^{2} - z^{2}$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p x + x^{2} + q = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = y^{2} - z^{2}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = 0$$
$$x_{1} x_{2} = y^{2} - z^{2}$$