x^2+(x/(x-1))^2=8 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^2+(x/(x-1))^2=8

Вы ввели

            2    
 2   /  x  \     
x  + |-----|  = 8
     \x - 1/     

$$x^{2} + \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{2} = 8$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{2} + \left(\frac{x}{x - 1}\right)^{2} = 8$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(x^{2} + 2 x - 2\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
знаменатель
$$x - 1$$
тогда

x не равен 1

Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x - 2 = 0$$
$$x^{2} + 2 x - 2 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x - 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 2$$
Получим ответ: x1 = 2
3.
$$x^{2} + 2 x - 2 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = -2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (1) * (-2) = 12

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = -1 + \sqrt{3}$$
Упростить
$$x_{3} = - \sqrt{3} - 1$$
Упростить
но

x не равен 1

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1 + \sqrt{3}$$
$$x_{3} = - \sqrt{3} - 1$$

Быстрый ответ

x1 = 2

$$x_{1} = 2$$

            ___
x2 = -1 + \/ 3 

$$x_{2} = -1 + \sqrt{3}$$

            ___
x3 = -1 - \/ 3 

$$x_{3} = - \sqrt{3} - 1$$

Сумма и произведение корней

сумма

               ___          ___
0 + 2 + -1 + \/ 3  + -1 - \/ 3 

$$\left(- \sqrt{3} - 1\right) + \left(\left(-1 + \sqrt{3}\right) + \left(0 + 2\right)\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

    /       ___\ /       ___\
1*2*\-1 + \/ 3 /*\-1 - \/ 3 /

$$1 \cdot 2 \left(-1 + \sqrt{3}\right) \left(- \sqrt{3} - 1\right)$$

=

-4

$$-4$$

Численный ответ

x1 = -2.73205080756888

x2 = 2.00000043765923

x3 = 2.0

График