x^5=(7/10) (уравнение)

Найду корень уравнения: x^5=(7/10)

Вы ввели

 5       
x  = 7/10

$$x^{5} = \frac{7}{10}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{5} = \frac{7}{10}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{\frac{7}{10}}$$
или
$$x = \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{10}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 7^1/5*10^4/5/10

Получим ответ: x = 7^(1/5)*10^(4/5)/10

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = \frac{7}{10}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = \frac{7}{10}$$
где
$$r = \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{10}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (5 p \right )} + \cos{\left (5 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (5 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (5 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{5} N$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{10}$$
$$z_{2} = - \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{40} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{8} 5^{\frac{3}{10}} - \frac{\sqrt[5]{7} i}{10} 10^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{40} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{8} 5^{\frac{3}{10}} + \frac{\sqrt[5]{7} i}{10} 10^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{8} 5^{\frac{3}{10}} - \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{40} - \frac{\sqrt[5]{7} i}{10} 10^{\frac{4}{5}} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{8} 5^{\frac{3}{10}} - \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{40} + \frac{\sqrt[5]{7} i}{10} 10^{\frac{4}{5}} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{40} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{8} 5^{\frac{3}{10}} - \frac{\sqrt[5]{7} i}{10} 10^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{40} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{8} 5^{\frac{3}{10}} + \frac{\sqrt[5]{7} i}{10} 10^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{8} 5^{\frac{3}{10}} - \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{40} - \frac{\sqrt[5]{7} i}{10} 10^{\frac{4}{5}} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{8} 5^{\frac{3}{10}} - \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{40} + \frac{\sqrt[5]{7} i}{10} 10^{\frac{4}{5}} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Быстрый ответ

     5 ___   4/5
     \/ 7 *10   
x1 = -----------
          10    

$$x_{1} = \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{10}$$

                                                           ___________
                                                          /       ___ 
                                          5 ___   4/5    /  5   \/ 5  
       5 ___   4/5    4/5  3/10 5 ___   I*\/ 7 *10   *  /   - + ----- 
       \/ 7 *10      2   *5    *\/ 7                  \/    8     8   
x2 = - ----------- + ---------------- - ------------------------------
            40              8                         10              

$$x_{2} = - \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{40} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{8} 5^{\frac{3}{10}} - \frac{\sqrt[5]{7} i}{10} 10^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                                           ___________
                                                          /       ___ 
                                          5 ___   4/5    /  5   \/ 5  
       5 ___   4/5    4/5  3/10 5 ___   I*\/ 7 *10   *  /   - + ----- 
       \/ 7 *10      2   *5    *\/ 7                  \/    8     8   
x3 = - ----------- + ---------------- + ------------------------------
            40              8                         10              

$$x_{3} = - \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{40} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{8} 5^{\frac{3}{10}} + \frac{\sqrt[5]{7} i}{10} 10^{\frac{4}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                                           ___________
                                                          /       ___ 
                                          5 ___   4/5    /  5   \/ 5  
       5 ___   4/5    4/5  3/10 5 ___   I*\/ 7 *10   *  /   - - ----- 
       \/ 7 *10      2   *5    *\/ 7                  \/    8     8   
x4 = - ----------- - ---------------- - ------------------------------
            40              8                         10              

$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{8} 5^{\frac{3}{10}} - \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{40} - \frac{\sqrt[5]{7} i}{10} 10^{\frac{4}{5}} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                                           ___________
                                                          /       ___ 
                                          5 ___   4/5    /  5   \/ 5  
       5 ___   4/5    4/5  3/10 5 ___   I*\/ 7 *10   *  /   - - ----- 
       \/ 7 *10      2   *5    *\/ 7                  \/    8     8   
x5 = - ----------- - ---------------- + ------------------------------
            40              8                         10              

$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{8} 5^{\frac{3}{10}} - \frac{10^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{7}}{40} + \frac{\sqrt[5]{7} i}{10} 10^{\frac{4}{5}} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Численный ответ

x1 = 0.287741148075 - 0.885576194399*i

x2 = 0.931149915095000

x3 = 0.287741148075 + 0.885576194399*i

x4 = -0.753316105623 - 0.547316187766*i

x5 = -0.753316105623 + 0.547316187766*i

График