x^6-4*x^3+3=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^6-4*x^3+3=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     6      3        
    x  - 4*x  + 3 = 0
    x64x3+3=0x^{6} - 4 x^{3} + 3 = 0
    Подробное решение
    Дано уравнение:
    x64x3+3=0x^{6} - 4 x^{3} + 3 = 0
    Сделаем замену
    v=x3v = x^{3}
    тогда ур-ние будет таким:
    v24v+3=0v^{2} - 4 v + 3 = 0
    Это уравнение вида
    a*v^2 + b*v + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    v1=Db2av_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
    v2=Db2av_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    a=1a = 1
    b=4b = -4
    c=3c = 3
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-4)^2 - 4 * (1) * (3) = 4

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    v1=3v_{1} = 3
    Упростить
    v2=1v_{2} = 1
    Упростить
    Получаем окончательный ответ:
    Т.к.
    v=x3v = x^{3}
    то
    x1=v13x_{1} = \sqrt[3]{v_{1}}
    x3=v23x_{3} = \sqrt[3]{v_{2}}
    тогда:
    x1=x_{1} =
    01+13131=33\frac{0}{1} + \frac{1 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{1} = \sqrt[3]{3}
    x3=x_{3} =
    01+11131=1\frac{0}{1} + \frac{1 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}{1} = 1
    График
    -12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.515.0-25000002500000
    Быстрый ответ [src]
    x1 = 1
    x1=1x_{1} = 1
         3 ___
    x2 = \/ 3 
    x2=33x_{2} = \sqrt[3]{3}
                   ___
           1   I*\/ 3 
    x3 = - - - -------
           2      2   
    x3=123i2x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
                   ___
           1   I*\/ 3 
    x4 = - - + -------
           2      2   
    x4=12+3i2x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}
           3 ___      5/6
           \/ 3    I*3   
    x5 = - ----- - ------
             2       2   
    x5=332356i2x_{5} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}
           3 ___      5/6
           \/ 3    I*3   
    x6 = - ----- + ------
             2       2   
    x6=332+356i2x_{6} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                              ___             ___     3 ___      5/6     3 ___      5/6
            3 ___     1   I*\/ 3      1   I*\/ 3      \/ 3    I*3        \/ 3    I*3   
    0 + 1 + \/ 3  + - - - ------- + - - + ------- + - ----- - ------ + - ----- + ------
                      2      2        2      2          2       2          2       2   
    ((332356i2)33)(332356i2)\left(\left(- \frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) - - \sqrt[3]{3}\right) - \left(\frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)
    =
    0
    00
    произведение
              /          ___\ /          ___\ /  3 ___      5/6\ /  3 ___      5/6\
        3 ___ |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 | |  \/ 3    I*3   | |  \/ 3    I*3   |
    1*1*\/ 3 *|- - - -------|*|- - + -------|*|- ----- - ------|*|- ----- + ------|
              \  2      2   / \  2      2   / \    2       2   / \    2       2   /
    1133(123i2)(12+3i2)(332356i2)(332+356i2)1 \cdot 1 \cdot \sqrt[3]{3} \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)
    =
    3
    33
    Численный ответ [src]
    x1 = -0.721124785153704 + 1.24902476648341*i
    x2 = 1.44224957030741
    x3 = 1.0
    x4 = -0.5 + 0.866025403784439*i
    x5 = -0.721124785153704 - 1.24902476648341*i
    x6 = -0.5 - 0.866025403784439*i
    График
    x^6-4*x^3+3=0 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/9/fb/97b1cd12661c64f7ef97b01c8be3e.png