x^6-4*x^3+3=0 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: x^6-4*x^3+3=0
Решение
Подробное решение
Дано уравнение:x 6 − 4 x 3 + 3 = 0 x^{6} - 4 x^{3} + 3 = 0 x 6 − 4 x 3 + 3 = 0 Сделаем заменуv = x 3 v = x^{3} v = x 3 тогда ур-ние будет таким:v 2 − 4 v + 3 = 0 v^{2} - 4 v + 3 = 0 v 2 − 4 v + 3 = 0 Это уравнение видаa*v^2 + b*v + c = 0 Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Корни квадратного уравнения:v 1 = D − b 2 a v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a} v 1 = 2 a D − b v 2 = − D − b 2 a v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a} v 2 = 2 a − D − b где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант. Т.к.a = 1 a = 1 a = 1 b = − 4 b = -4 b = − 4 c = 3 c = 3 c = 3 , тоD = b^2 - 4 * a * c = (-4)^2 - 4 * (1) * (3) = 4 Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a) илиv 1 = 3 v_{1} = 3 v 1 = 3 Упростить v 2 = 1 v_{2} = 1 v 2 = 1 Упростить Получаем окончательный ответ: Т.к.v = x 3 v = x^{3} v = x 3 тоx 1 = v 1 3 x_{1} = \sqrt[3]{v_{1}} x 1 = 3 v 1 x 3 = v 2 3 x_{3} = \sqrt[3]{v_{2}} x 3 = 3 v 2 тогда:x 1 = x_{1} = x 1 = 0 1 + 1 ⋅ 3 1 3 1 = 3 3 \frac{0}{1} + \frac{1 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{1} = \sqrt[3]{3} 1 0 + 1 1 ⋅ 3 3 1 = 3 3 x 3 = x_{3} = x 3 = 0 1 + 1 ⋅ 1 1 3 1 = 1 \frac{0}{1} + \frac{1 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}{1} = 1 1 0 + 1 1 ⋅ 1 3 1 = 1
График
-12.5 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 -2500000 2500000
x 2 = 3 3 x_{2} = \sqrt[3]{3} x 2 = 3 3 ___
1 I*\/ 3
x3 = - - - -------
2 2 x 3 = − 1 2 − 3 i 2 x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} x 3 = − 2 1 − 2 3 i ___
1 I*\/ 3
x4 = - - + -------
2 2 x 4 = − 1 2 + 3 i 2 x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} x 4 = − 2 1 + 2 3 i 3 ___ 5/6
\/ 3 I*3
x5 = - ----- - ------
2 2 x 5 = − 3 3 2 − 3 5 6 i 2 x_{5} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2} x 5 = − 2 3 3 − 2 3 6 5 i 3 ___ 5/6
\/ 3 I*3
x6 = - ----- + ------
2 2 x 6 = − 3 3 2 + 3 5 6 i 2 x_{6} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2} x 6 = − 2 3 3 + 2 3 6 5 i
Сумма и произведение корней
[src] ___ ___ 3 ___ 5/6 3 ___ 5/6
3 ___ 1 I*\/ 3 1 I*\/ 3 \/ 3 I*3 \/ 3 I*3
0 + 1 + \/ 3 + - - - ------- + - - + ------- + - ----- - ------ + - ----- + ------
2 2 2 2 2 2 2 2 ( ( − 3 3 2 − 3 5 6 i 2 ) − − 3 3 ) − ( 3 3 2 − 3 5 6 i 2 ) \left(\left(- \frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) - - \sqrt[3]{3}\right) - \left(\frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) ( ( − 2 3 3 − 2 3 6 5 i ) − − 3 3 ) − ( 2 3 3 − 2 3 6 5 i ) / ___\ / ___\ / 3 ___ 5/6\ / 3 ___ 5/6\
3 ___ | 1 I*\/ 3 | | 1 I*\/ 3 | | \/ 3 I*3 | | \/ 3 I*3 |
1*1*\/ 3 *|- - - -------|*|- - + -------|*|- ----- - ------|*|- ----- + ------|
\ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / 1 ⋅ 1 ⋅ 3 3 ( − 1 2 − 3 i 2 ) ( − 1 2 + 3 i 2 ) ( − 3 3 2 − 3 5 6 i 2 ) ( − 3 3 2 + 3 5 6 i 2 ) 1 \cdot 1 \cdot \sqrt[3]{3} \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) 1 ⋅ 1 ⋅ 3 3 ( − 2 1 − 2 3 i ) ( − 2 1 + 2 3 i ) ( − 2 3 3 − 2 3 6 5 i ) ( − 2 3 3 + 2 3 6 5 i ) x1 = -0.721124785153704 + 1.24902476648341*i x4 = -0.5 + 0.866025403784439*i x5 = -0.721124785153704 - 1.24902476648341*i x6 = -0.5 - 0.866025403784439*i