x^6-4*x^3+3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^6-4*x^3+3=0

Вы ввели

 6      3        
x  - 4*x  + 3 = 0

$$x^{6} - 4 x^{3} + 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{6} - 4 x^{3} + 3 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{3}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - 4 v + 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (1) * (3) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 3$$
Упростить
$$v_{2} = 1$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{3}$$
то
$$x_{1} = \sqrt[3]{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt[3]{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{1} = \sqrt[3]{3}$$
$$x_{3} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}{1} = 1$$

Быстрый ответ

x1 = 1

$$x_{1} = 1$$

     3 ___
x2 = \/ 3 

$$x_{2} = \sqrt[3]{3}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x3 = - - - -------
       2      2   

$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x4 = - - + -------
       2      2   

$$x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

       3 ___      5/6
       \/ 3    I*3   
x5 = - ----- - ------
         2       2   

$$x_{5} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

       3 ___      5/6
       \/ 3    I*3   
x6 = - ----- + ------
         2       2   

$$x_{6} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                          ___             ___     3 ___      5/6     3 ___      5/6
        3 ___     1   I*\/ 3      1   I*\/ 3      \/ 3    I*3        \/ 3    I*3   
0 + 1 + \/ 3  + - - - ------- + - - + ------- + - ----- - ------ + - ----- + ------
                  2      2        2      2          2       2          2       2   

$$\left(\left(- \frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) - - \sqrt[3]{3}\right) - \left(\frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

          /          ___\ /          ___\ /  3 ___      5/6\ /  3 ___      5/6\
    3 ___ |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 | |  \/ 3    I*3   | |  \/ 3    I*3   |
1*1*\/ 3 *|- - - -------|*|- - + -------|*|- ----- - ------|*|- ----- + ------|
          \  2      2   / \  2      2   / \    2       2   / \    2       2   /

$$1 \cdot 1 \cdot \sqrt[3]{3} \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)$$

=

3

$$3$$

Численный ответ

x1 = -0.721124785153704 + 1.24902476648341*i

x2 = 1.44224957030741

x3 = 1.0

x4 = -0.5 + 0.866025403784439*i

x5 = -0.721124785153704 - 1.24902476648341*i

x6 = -0.5 - 0.866025403784439*i

График