x^3+3x^2+5x+15=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+3x^2+5x+15=0

Вы ввели

 3      2               
x  + 3*x  + 5*x + 15 = 0

$$x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 15 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 15 = 0$$
преобразуем
$$\left(5 x + \left(\left(3 x^{2} + \left(1 x^{3} + 27\right)\right) - 27\right)\right) + 15 = 0$$
или
$$\left(5 x - \left(- x^{3} - 3 x^{2} - 27 + 27\right)\right) - -15 = 0$$
$$5 \left(x + 3\right) + \left(3 \left(x^{2} - \left(-3\right)^{2}\right) + 1 \left(x^{3} - \left(-3\right)^{3}\right)\right) = 0$$
$$5 \left(x + 3\right) + \left(\left(x - 3\right) 3 \left(x + 3\right) + 1 \left(x + 3\right) \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + \left(-3\right)^{2}\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель 3 + x за скобки
получим:
$$\left(x + 3\right) \left(\left(3 \left(x - 3\right) + 1 \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + \left(-3\right)^{2}\right)\right) + 5\right) = 0$$
или
$$\left(x + 3\right) \left(x^{2} + 5\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = -3$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} + 5 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (5) = -20

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = \sqrt{5} i$$
Упростить
$$x_{3} = - \sqrt{5} i$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (x^3 + 3*x^2 + 5*x + 15) + 0 = 0:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = \sqrt{5} i$$
$$x_{3} = - \sqrt{5} i$$

Быстрый ответ

x1 = -3

$$x_{1} = -3$$

          ___
x2 = -I*\/ 5 

$$x_{2} = - \sqrt{5} i$$

         ___
x3 = I*\/ 5 

$$x_{3} = \sqrt{5} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ___       ___
0 - 3 - I*\/ 5  + I*\/ 5 

$$\left(\left(-3 + 0\right) - \sqrt{5} i\right) + \sqrt{5} i$$

=

-3

$$-3$$

произведение

          ___     ___
1*-3*-I*\/ 5 *I*\/ 5 

$$1 \left(-3\right) \left(- \sqrt{5} i\right) \sqrt{5} i$$

=

-15

$$-15$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 3$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 5$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 15$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = -3$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 5$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 15$$

Численный ответ

x1 = -2.23606797749979*i

x2 = 2.23606797749979*i

x3 = -3.0

График