x^3+x^2+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+x^2+1=0

Вы ввели

 3    2        
x  + x  + 1 = 0

$$x^{3} + x^{2} + 1 = 0$$

Быстрый ответ

                                         _______________     /                                      _______________\
                                        /          ____      |                                     /          ____ |
                                       /  29   3*\/ 93       |                             ___    /  29   3*\/ 93  |
                                    3 /   -- + --------      |            ___            \/ 3 *3 /   -- + -------- |
       1             1              \/    2       2          |          \/ 3                   \/    2       2     |
x1 = - - + ---------------------- + -------------------- + I*|- ---------------------- + --------------------------|
       3          _______________            6               |         _______________               6             |
                 /          ____                             |        /          ____                              |
                /  29   3*\/ 93                              |       /  29   3*\/ 93                               |
           6*3 /   -- + --------                             |  6*3 /   -- + --------                              |
             \/    2       2                                 \    \/    2       2                                  /

$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{1}{6 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{6} + i \left(- \frac{\sqrt{3}}{6 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{6}\right)$$

                                         _______________     /             _______________                         \
                                        /          ____      |            /          ____                          |
                                       /  29   3*\/ 93       |    ___    /  29   3*\/ 93                           |
                                    3 /   -- + --------      |  \/ 3 *3 /   -- + --------              ___         |
       1             1              \/    2       2          |        \/    2       2                \/ 3          |
x2 = - - + ---------------------- + -------------------- + I*|- -------------------------- + ----------------------|
       3          _______________            6               |              6                       _______________|
                 /          ____                             |                                     /          ____ |
                /  29   3*\/ 93                              |                                    /  29   3*\/ 93  |
           6*3 /   -- + --------                             |                               6*3 /   -- + -------- |
             \/    2       2                                 \                                 \/    2       2     /

$$x_{2} = - \frac{1}{3} + \frac{1}{6 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{6} + i \left(- \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}\right)$$

                                         _______________
                                        /          ____ 
                                       /  29   3*\/ 93  
                                    3 /   -- + -------- 
       1             1              \/    2       2     
x3 = - - - ---------------------- - --------------------
       3          _______________            3          
                 /          ____                        
                /  29   3*\/ 93                         
           3*3 /   -- + --------                        
             \/    2       2                            

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                        _______________     /                                      _______________\                                       _______________     /             _______________                         \                                       _______________
                                       /          ____      |                                     /          ____ |                                      /          ____      |            /          ____                          |                                      /          ____ 
                                      /  29   3*\/ 93       |                             ___    /  29   3*\/ 93  |                                     /  29   3*\/ 93       |    ___    /  29   3*\/ 93                           |                                     /  29   3*\/ 93  
                                   3 /   -- + --------      |            ___            \/ 3 *3 /   -- + -------- |                                  3 /   -- + --------      |  \/ 3 *3 /   -- + --------              ___         |                                  3 /   -- + -------- 
      1             1              \/    2       2          |          \/ 3                   \/    2       2     |     1             1              \/    2       2          |        \/    2       2                \/ 3          |     1             1              \/    2       2     
0 + - - + ---------------------- + -------------------- + I*|- ---------------------- + --------------------------| + - - + ---------------------- + -------------------- + I*|- -------------------------- + ----------------------| + - - - ---------------------- - --------------------
      3          _______________            6               |         _______________               6             |     3          _______________            6               |              6                       _______________|     3          _______________            3          
                /          ____                             |        /          ____                              |               /          ____                             |                                     /          ____ |               /          ____                        
               /  29   3*\/ 93                              |       /  29   3*\/ 93                               |              /  29   3*\/ 93                              |                                    /  29   3*\/ 93  |              /  29   3*\/ 93                         
          6*3 /   -- + --------                             |  6*3 /   -- + --------                              |         6*3 /   -- + --------                             |                               6*3 /   -- + -------- |         3*3 /   -- + --------                        
            \/    2       2                                 \    \/    2       2                                  /           \/    2       2                                 \                                 \/    2       2     /           \/    2       2                            

$$\left(- \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}\right) + \left(\left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{6 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{6} + i \left(- \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}\right)\right) + \left(0 + \left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{6 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{6} + i \left(- \frac{\sqrt{3}}{6 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{6}\right)\right)\right)\right)$$

=

       /                                      _______________\     /             _______________                         \
       |                                     /          ____ |     |            /          ____                          |
       |                             ___    /  29   3*\/ 93  |     |    ___    /  29   3*\/ 93                           |
       |            ___            \/ 3 *3 /   -- + -------- |     |  \/ 3 *3 /   -- + --------              ___         |
       |          \/ 3                   \/    2       2     |     |        \/    2       2                \/ 3          |
-1 + I*|- ---------------------- + --------------------------| + I*|- -------------------------- + ----------------------|
       |         _______________               6             |     |              6                       _______________|
       |        /          ____                              |     |                                     /          ____ |
       |       /  29   3*\/ 93                               |     |                                    /  29   3*\/ 93  |
       |  6*3 /   -- + --------                              |     |                               6*3 /   -- + -------- |
       \    \/    2       2                                  /     \                                 \/    2       2     /

$$-1 + i \left(- \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}\right) + i \left(- \frac{\sqrt{3}}{6 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{6}\right)$$

произведение

  /                                    _______________     /                                      _______________\\ /                                    _______________     /             _______________                         \\ /                                    _______________\
  |                                   /          ____      |                                     /          ____ || |                                   /          ____      |            /          ____                          || |                                   /          ____ |
  |                                  /  29   3*\/ 93       |                             ___    /  29   3*\/ 93  || |                                  /  29   3*\/ 93       |    ___    /  29   3*\/ 93                           || |                                  /  29   3*\/ 93  |
  |                               3 /   -- + --------      |            ___            \/ 3 *3 /   -- + -------- || |                               3 /   -- + --------      |  \/ 3 *3 /   -- + --------              ___         || |                               3 /   -- + -------- |
  |  1             1              \/    2       2          |          \/ 3                   \/    2       2     || |  1             1              \/    2       2          |        \/    2       2                \/ 3          || |  1             1              \/    2       2     |
1*|- - + ---------------------- + -------------------- + I*|- ---------------------- + --------------------------||*|- - + ---------------------- + -------------------- + I*|- -------------------------- + ----------------------||*|- - - ---------------------- - --------------------|
  |  3          _______________            6               |         _______________               6             || |  3          _______________            6               |              6                       _______________|| |  3          _______________            3          |
  |            /          ____                             |        /          ____                              || |            /          ____                             |                                     /          ____ || |            /          ____                        |
  |           /  29   3*\/ 93                              |       /  29   3*\/ 93                               || |           /  29   3*\/ 93                              |                                    /  29   3*\/ 93  || |           /  29   3*\/ 93                         |
  |      6*3 /   -- + --------                             |  6*3 /   -- + --------                              || |      6*3 /   -- + --------                             |                               6*3 /   -- + -------- || |      3*3 /   -- + --------                        |
  \        \/    2       2                                 \    \/    2       2                                  // \        \/    2       2                                 \                                 \/    2       2     // \        \/    2       2                            /

$$1 \left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{6 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{6} + i \left(- \frac{\sqrt{3}}{6 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{6}\right)\right) \left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{6 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}} + \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{6} + i \left(- \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{93}}{2} + \frac{29}{2}}}\right)$$

=

-1

$$-1$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 1$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 1$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = -1$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 1$$

Численный ответ

x1 = 0.232785615938384 + 0.792551992515448*i

x2 = -1.46557123187677

x3 = 0.232785615938384 - 0.792551992515448*i

График