- Решение пределов lim x→∞
- Производная функции f(x)'
- Решение интегралов ∫dx
- Решение уравнений x^2=1
- Система уравнений {x-2y=0}
- Построение графиков f(x)
- Решение неравенств x<1
- Комплексные числа ⅈ
- Ряды ∑
- Матрицы [⊹]
- Вектора
- Обычный и инженерный калькулятор
Как пользоваться?
- уравнение:
- 21-x=15
- -6*x=48
- 4*x^2-11*x-3=0
- 5x=25
- 7m-11=3m+5
- 6х-2*(х+0,6)=-3,2
- Сумма корней:
- 7*x^2-1=0
- x^2-8*x+12=0
- 3*x^2+5*x-2=0
- x^2-6*x-14=0
- (x+1)^2-3=0
- 10/(x-4)+4/(x-10)=2
- Произведение корней:
- 4^(x+3)=11^x
- y/44=3
- sqrt(x^4+8*x^3+2*x^2-1)=sqrt(x^4+2*x^2)
- 3^x=7^x
- x^2=3*x+18
- |6*x^2-7*x+2|=2-x
- Выразите переменную {x} через {y} из:
- 4*x+12*y=16
- 4*x-3*y=11
- 4*x-4*y=12
- 4*x+3*y=9
- 3*x+1*y=17
- 2*x-4*y=18
- График функции y =:
- x^8
- -3
- Производная:
- x^8
- -3
- Интеграл:
- x^8
- Предел функции:
- -3
Идентичные выражения
- x^ восемь =- три
- х в степени 8 равно минус 3
- х в степени восемь равно минус три
- x8=-3
- x⁸=-3
Похожие выражения
- x^8=7
- x^8-15*x^4-16=0
- 4*x^2-11*x-3=0
- x^8=+3
- x^3-5x^2+7x-3=0
- x^8=-64
- 2х^4-3х^2+2=0
- Информация для покупателей
x^8=-3 (уравнение)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: x^8=-3
Решение
Подробное решение
$$x^{8} = -3$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 8 и свободный член = -3 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует
Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{8} = -3$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = -3$$
где
$$r = \sqrt[8]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(8 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4} + \frac{\pi}{8}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{2} = \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{3} = - \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{4} = \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
$$z_{7} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$z_{8} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{2} = \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{3} = - \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$x_{4} = \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
$$x_{7} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$x_{8} = - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[8]{3} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
Быстрый ответ
[src]
___________ ___________
/ ___ / ___
8 ___ / 1 \/ 2 8 ___ / 1 \/ 2
x1 = - \/ 3 * / - - ----- + I*\/ 3 * / - + -----
\/ 2 4 \/ 2 4 ___________ ___________
/ ___ / ___
8 ___ / 1 \/ 2 8 ___ / 1 \/ 2
x2 = \/ 3 * / - - ----- - I*\/ 3 * / - + -----
\/ 2 4 \/ 2 4 ___________ ___________
/ ___ / ___
8 ___ / 1 \/ 2 8 ___ / 1 \/ 2
x3 = - \/ 3 * / - + ----- - I*\/ 3 * / - - -----
\/ 2 4 \/ 2 4 ___________ ___________
/ ___ / ___
8 ___ / 1 \/ 2 8 ___ / 1 \/ 2
x4 = \/ 3 * / - + ----- + I*\/ 3 * / - - -----
\/ 2 4 \/ 2 4 / ___________ ___________\ ___________ ___________
| / ___ / ___ | / ___ / ___
| ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2
|\/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- | \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- \/ 2 *\/ 3 * / - - -----
| \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4
x5 = I*|---------------------------- + ----------------------------| + ---------------------------- - ----------------------------
\ 2 2 / 2 2 / ___________ ___________\ ___________ ___________
| / ___ / ___ | / ___ / ___
| ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2
|\/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- | \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + -----
| \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4
x6 = I*|---------------------------- - ----------------------------| + ---------------------------- + ----------------------------
\ 2 2 / 2 2 / ___________ ___________\ ___________ ___________
| / ___ / ___ | / ___ / ___
| ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2
|\/ 2 *\/ 3 * / - + ----- \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- | \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + -----
| \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4
x7 = I*|---------------------------- - ----------------------------| - ---------------------------- - ----------------------------
\ 2 2 / 2 2 / ___________ ___________\ ___________ ___________
| / ___ / ___ | / ___ / ___
| ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2
| \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- | \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + -----
| \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4
x8 = I*|- ---------------------------- - ----------------------------| + ---------------------------- - ----------------------------
\ 2 2 / 2 2
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
/ ___________ ___________\ ___________ ___________ / ___________ ___________\ ___________ ___________ / ___________ ___________\ ___________ ___________ / ___________ ___________\ ___________ ___________
| / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___
___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2
/ ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ |\/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- | \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- |\/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- | \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- |\/ 2 *\/ 3 * / - + ----- \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- | \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- | \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- | \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + -----
8 ___ / 1 \/ 2 8 ___ / 1 \/ 2 8 ___ / 1 \/ 2 8 ___ / 1 \/ 2 8 ___ / 1 \/ 2 8 ___ / 1 \/ 2 8 ___ / 1 \/ 2 8 ___ / 1 \/ 2 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4
0 + - \/ 3 * / - - ----- + I*\/ 3 * / - + ----- + \/ 3 * / - - ----- - I*\/ 3 * / - + ----- + - \/ 3 * / - + ----- - I*\/ 3 * / - - ----- + \/ 3 * / - + ----- + I*\/ 3 * / - - ----- + I*|---------------------------- + ----------------------------| + ---------------------------- - ---------------------------- + I*|---------------------------- - ----------------------------| + ---------------------------- + ---------------------------- + I*|---------------------------- - ----------------------------| - ---------------------------- - ---------------------------- + I*|- ---------------------------- - ----------------------------| + ---------------------------- - ----------------------------
\/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2 =
/ ___________ ___________\ / ___________ ___________\ / ___________ ___________\ / ___________ ___________\ | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | |\/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- | |\/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- | |\/ 2 *\/ 3 * / - + ----- \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- | | \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- | | \/ 2 4 \/ 2 4 | | \/ 2 4 \/ 2 4 | | \/ 2 4 \/ 2 4 | | \/ 2 4 \/ 2 4 | I*|---------------------------- + ----------------------------| + I*|---------------------------- - ----------------------------| + I*|---------------------------- - ----------------------------| + I*|- ---------------------------- - ----------------------------| \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 /
произведение
/ / ___________ ___________\ ___________ ___________\ / / ___________ ___________\ ___________ ___________\ / / ___________ ___________\ ___________ ___________\ / / ___________ ___________\ ___________ ___________\
| | / ___ / ___ | / ___ / ___ | | | / ___ / ___ | / ___ / ___ | | | / ___ / ___ | / ___ / ___ | | | / ___ / ___ | / ___ / ___ |
/ ___________ ___________\ / ___________ ___________\ / ___________ ___________\ / ___________ ___________\ | | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | | | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | | | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | | | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 | ___ 8 ___ / 1 \/ 2 ___ 8 ___ / 1 \/ 2 |
| / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | |\/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- | \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- | | |\/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- | \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- | | |\/ 2 *\/ 3 * / - + ----- \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- | \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- | | | \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- | \/ 2 *\/ 3 * / - - ----- \/ 2 *\/ 3 * / - + ----- |
| 8 ___ / 1 \/ 2 8 ___ / 1 \/ 2 | |8 ___ / 1 \/ 2 8 ___ / 1 \/ 2 | | 8 ___ / 1 \/ 2 8 ___ / 1 \/ 2 | |8 ___ / 1 \/ 2 8 ___ / 1 \/ 2 | | | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | | | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | | | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | | | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 |
1*|- \/ 3 * / - - ----- + I*\/ 3 * / - + ----- |*|\/ 3 * / - - ----- - I*\/ 3 * / - + ----- |*|- \/ 3 * / - + ----- - I*\/ 3 * / - - ----- |*|\/ 3 * / - + ----- + I*\/ 3 * / - - ----- |*|I*|---------------------------- + ----------------------------| + ---------------------------- - ----------------------------|*|I*|---------------------------- - ----------------------------| + ---------------------------- + ----------------------------|*|I*|---------------------------- - ----------------------------| - ---------------------------- - ----------------------------|*|I*|- ---------------------------- - ----------------------------| + ---------------------------- - ----------------------------|
\ \/ 2 4 \/ 2 4 / \ \/ 2 4 \/ 2 4 / \ \/ 2 4 \/ 2 4 / \ \/ 2 4 \/ 2 4 / \ \ 2 2 / 2 2 / \ \ 2 2 / 2 2 / \ \ 2 2 / 2 2 / \ \ 2 2 / 2 2 /=
3
Численный ответ
[src]
x1 = 0.439015463195998 - 1.05987708533928*i
x2 = 1.05987708533928 - 0.439015463195998*i
x3 = -0.439015463195998 - 1.05987708533928*i
x4 = 0.439015463195998 + 1.05987708533928*i
x5 = -1.05987708533928 - 0.439015463195998*i
x6 = -1.05987708533928 + 0.439015463195998*i
x7 = 1.05987708533928 + 0.439015463195998*i
x8 = -0.439015463195998 + 1.05987708533928*i
График