z^2+2-2i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^2+2-2i=0

Вы ввели

 2              
z  + 2 - 2*I = 0

$$\left(z^{2} + 2\right) - 2 i = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 2 - 2 i$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (2 - 2*i) = -8 + 8*i

Уравнение имеет два корня.

z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{1} = \frac{\sqrt{-8 + 8 i}}{2}$$
Упростить
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{-8 + 8 i}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

                 ___________               ___________
                /       ___               /       ___ 
        3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2  
z1 = - 2   *  /   - - -----  - I*2   *  /   - + ----- 
            \/    2     4             \/    2     4   

$$z_{1} = - 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

               ___________               ___________
              /       ___               /       ___ 
      3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2  
z2 = 2   *  /   - - -----  + I*2   *  /   - + ----- 
          \/    2     4             \/    2     4   

$$z_{2} = 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ___________               ___________             ___________               ___________
           /       ___               /       ___             /       ___               /       ___ 
   3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2      3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2  
- 2   *  /   - - -----  - I*2   *  /   - + -----  + 2   *  /   - - -----  + I*2   *  /   - + ----- 
       \/    2     4             \/    2     4           \/    2     4             \/    2     4   

$$\left(- 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) + \left(2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

/            ___________               ___________\ /          ___________               ___________\
|           /       ___               /       ___ | |         /       ___               /       ___ |
|   3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2  | | 3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2  |
|- 2   *  /   - - -----  - I*2   *  /   - + ----- |*|2   *  /   - - -----  + I*2   *  /   - + ----- |
\       \/    2     4             \/    2     4   / \     \/    2     4             \/    2     4   /

$$\left(- 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) \left(2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right)$$

=

2 - 2*I

$$2 - 2 i$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p z + q + z^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 2 - 2 i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} = - p$$
$$z_{1} z_{2} = q$$
$$z_{1} + z_{2} = 0$$
$$z_{1} z_{2} = 2 - 2 i$$

Численный ответ

z1 = 0.643594252905583 + 1.55377397403004*i

z2 = -0.643594252905583 - 1.55377397403004*i