Решите уравнение x^5-32=0 (х в степени 5 минус 32 равно 0) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

x^5-32=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^5-32=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     5         
    x  - 32 = 0
    $$x^{5} - 32 = 0$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$x^{5} - 32 = 0$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{32}$$
    или
    $$x = 2$$
    Получим ответ: x = 2

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{5} = 32$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{5} e^{5 i p} = 32$$
    где
    $$r = 2$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{5 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = 2$$
    $$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    $$z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = 2$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    $$x_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
    x1 = 2
    $$x_{1} = 2$$
                                ___________
                 ___           /       ___ 
           1   \/ 5           /  5   \/ 5  
    x2 = - - + ----- - 2*I*  /   - + ----- 
           2     2         \/    8     8   
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
                                ___________
                 ___           /       ___ 
           1   \/ 5           /  5   \/ 5  
    x3 = - - + ----- + 2*I*  /   - + ----- 
           2     2         \/    8     8   
    $$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
                                ___________
                 ___           /       ___ 
           1   \/ 5           /  5   \/ 5  
    x4 = - - - ----- - 2*I*  /   - - ----- 
           2     2         \/    8     8   
    $$x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
                                ___________
                 ___           /       ___ 
           1   \/ 5           /  5   \/ 5  
    x5 = - - - ----- + 2*I*  /   - - ----- 
           2     2         \/    8     8   
    $$x_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                               ___________                          ___________                          ___________                          ___________
                ___           /       ___            ___           /       ___            ___           /       ___            ___           /       ___ 
          1   \/ 5           /  5   \/ 5       1   \/ 5           /  5   \/ 5       1   \/ 5           /  5   \/ 5       1   \/ 5           /  5   \/ 5  
    2 + - - + ----- - 2*I*  /   - + -----  + - - + ----- + 2*I*  /   - + -----  + - - - ----- - 2*I*  /   - - -----  + - - - ----- + 2*I*  /   - - ----- 
          2     2         \/    8     8        2     2         \/    8     8        2     2         \/    8     8        2     2         \/    8     8   
    $$\left(\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(2 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
      /                       ___________\ /                       ___________\ /                       ___________\ /                       ___________\
      |        ___           /       ___ | |        ___           /       ___ | |        ___           /       ___ | |        ___           /       ___ |
      |  1   \/ 5           /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5           /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5           /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5           /  5   \/ 5  |
    2*|- - + ----- - 2*I*  /   - + ----- |*|- - + ----- + 2*I*  /   - + ----- |*|- - - ----- - 2*I*  /   - - ----- |*|- - - ----- + 2*I*  /   - - ----- |
      \  2     2         \/    8     8   / \  2     2         \/    8     8   / \  2     2         \/    8     8   / \  2     2         \/    8     8   /
    $$2 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$
    =
    32
    $$32$$
    Численный ответ [src]
    x1 = 2.0
    x2 = -1.61803398874989 - 1.17557050458495*i
    x3 = -1.61803398874989 + 1.17557050458495*i
    x4 = 0.618033988749895 - 1.90211303259031*i
    x5 = 0.618033988749895 + 1.90211303259031*i
    График
    x^5-32=0 (уравнение) /media/krcore-image-pods/adee/c611/ea39/73dc/im.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: