x^2+y=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^2+y=0

Вы ввели

 2        
x  + y = 0

$$x^{2} + y = 0$$

Упростить
Выразить через переменную y
График неявной функции

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = y$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (y) = -4*y

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \sqrt{- y}$$
Упростить
$$x_{2} = - \sqrt{- y}$$
Упростить

Быстрый ответ

          _________________                                   _________________                           
       4 /   2        2        /atan2(-im(y), -re(y))\     4 /   2        2        /atan2(-im(y), -re(y))\
x1 = - \/  im (y) + re (y) *cos|---------------------| - I*\/  im (y) + re (y) *sin|---------------------|
                               \          2          /                             \          2          /

$$x_{1} = - i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(y\right)},- \operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(y\right)},- \operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}{2} \right)}$$

        _________________                                   _________________                           
     4 /   2        2        /atan2(-im(y), -re(y))\     4 /   2        2        /atan2(-im(y), -re(y))\
x2 = \/  im (y) + re (y) *cos|---------------------| + I*\/  im (y) + re (y) *sin|---------------------|
                             \          2          /                             \          2          /

$$x_{2} = i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(y\right)},- \operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(y\right)},- \operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}{2} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

     _________________                                   _________________                                 _________________                                   _________________                           
  4 /   2        2        /atan2(-im(y), -re(y))\     4 /   2        2        /atan2(-im(y), -re(y))\   4 /   2        2        /atan2(-im(y), -re(y))\     4 /   2        2        /atan2(-im(y), -re(y))\
- \/  im (y) + re (y) *cos|---------------------| - I*\/  im (y) + re (y) *sin|---------------------| + \/  im (y) + re (y) *cos|---------------------| + I*\/  im (y) + re (y) *sin|---------------------|
                          \          2          /                             \          2          /                           \          2          /                             \          2          /

$$\left(- i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(y\right)},- \operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(y\right)},- \operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}{2} \right)}\right) + \left(i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(y\right)},- \operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(y\right)},- \operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}{2} \right)}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

/     _________________                                   _________________                           \ /   _________________                                   _________________                           \
|  4 /   2        2        /atan2(-im(y), -re(y))\     4 /   2        2        /atan2(-im(y), -re(y))\| |4 /   2        2        /atan2(-im(y), -re(y))\     4 /   2        2        /atan2(-im(y), -re(y))\|
|- \/  im (y) + re (y) *cos|---------------------| - I*\/  im (y) + re (y) *sin|---------------------||*|\/  im (y) + re (y) *cos|---------------------| + I*\/  im (y) + re (y) *sin|---------------------||
\                          \          2          /                             \          2          // \                        \          2          /                             \          2          //

$$\left(- i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(y\right)},- \operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(y\right)},- \operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}{2} \right)}\right) \left(i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(y\right)},- \operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(y\right)},- \operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}{2} \right)}\right)$$

=

    _________________                         
   /   2        2      I*atan2(-im(y), -re(y))
-\/  im (y) + re (y) *e                       

$$- \sqrt{\left(\operatorname{re}{\left(y\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(y\right)}\right)^{2}} e^{i \operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(y\right)},- \operatorname{re}{\left(y\right)} \right)}}$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = y$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = 0$$
$$x_{1} x_{2} = y$$