(2cos^2(x)+sin(x)-2)*(sqrt(5*tg(x)))=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (2cos^2(x)+sin(x)-2)*(sqrt(5*tg(x)))=0

Вы ввели

/     2                \   __________    
\2*cos (x) + sin(x) - 2/*\/ 5*tan(x)  = 0

$$\sqrt{5 \tan{\left(x \right)}} \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 2\right) = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sqrt{5 \tan{\left(x \right)}} \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 2\right) = 0$$
преобразуем
$$\sqrt{5} \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} - 1\right) \sqrt{\tan{\left(x \right)}} = 0$$
$$\sqrt{5} \sqrt{\tan{\left(x \right)}} \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - 2 + 2\right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\sqrt{5} \left(- 2 w^{2} + w\right) \sqrt{\tan{\left(x \right)}} = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- 2 \sqrt{5} w^{2} \sqrt{\tan{\left(x \right)}} + \sqrt{5} w \sqrt{\tan{\left(x \right)}} = 0$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = - 2 \sqrt{5} \sqrt{\tan{\left(x \right)}}$$
$$b = \sqrt{5} \sqrt{\tan{\left(x \right)}}$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(sqrt(5)*sqrt(tan(x)))^2 - 4 * (-2*sqrt(5)*sqrt(tan(x))) * (0) = 5*tan(x)

Уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 0$$
Упростить
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(0 \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(0 \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

     pi
x2 = --
     6 

$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$

     5*pi
x3 = ----
      6  

$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        pi   5*pi
0 + 0 + -- + ----
        6     6  

$$\left(\left(0 + 0\right) + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{5 \pi}{6}$$

=

pi

$$\pi$$

произведение

    pi 5*pi
1*0*--*----
    6   6  

$$\frac{5 \pi}{6} 1 \cdot 0 \frac{\pi}{6}$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

x1 = 56.5486677645427

x2 = 100.530964914806

x3 = 6.28318530717377

x4 = 12.5663706142796

x5 = -68.5914396033772

x6 = -25.1327412289262

x7 = -3.1415926526542

x8 = -18.3259571459405

x9 = 90.5825881785057

x10 = 84.2994028713261

x11 = 15.1843644923507

x12 = -91.6297857297023

x13 = 59.6902604183019

x14 = -59.6902604182063

x15 = 65.9734457253937

x16 = 69.1150383786103

x17 = -49.7418836818384

x18 = -5.75958653158129

x19 = -47.6474885794452

x20 = -12.0427718387609

x21 = 34.0339204138894

x22 = 53.4070751112506

x23 = 25.1327412283384

x24 = 15.7079632680382

x25 = -37.6991118430866

x26 = -28.2743338822254

x27 = 31.9395253114962

x28 = -3.66519142918809

x29 = 91.1061869545431

x30 = -21.9911485751319 + 6.90991061895557e-13*i

x31 = 3.14159265399453

x32 = -40.8407044962784

x33 = 38.2227106186758

x34 = 9.42477796098415

x35 = 96.8657734856853

x36 = -72.7802298081635

x37 = 19.3731546971371

x38 = -79.0634151153431

x39 = -78.5398163395482

x40 = -75.3982236862471

x41 = 84.8230016480226

x42 = 82.2050077689329

x43 = 31.4159265350676

x44 = 69.6386371545737

x45 = 28.2743338823059

x46 = -91.1061869532915

x47 = -97.9129710368819

x48 = 2.61799387799149

x49 = 8.90117918517108

x50 = -31.4159265359837

x51 = -43.9822971502619 + 6.84388320079325e-12*i

x52 = -85.3466004225227

x53 = -72.2566310324888

x54 = 43.9822971502596

x55 = 21.9911485751315

x56 = 0.0

x57 = -87.9645943005151 + 1.75240157168783e-11*i

x58 = -47.1238898029769

x59 = -62.3082542961976

x60 = -53.9306738866248

x61 = -56.025068989018

x62 = 87.9645943005169

x63 = 40.8407044976782

x64 = 52.8834763354282

x65 = 78.0162175641465

x66 = 37.6991118405158 + 5.17403321343061e-9*i

x67 = 75.9218224617533

x68 = 18.8495559213399

x69 = -93.7241808320955

x70 = -35.081117965086

x71 = 46.6002910282486

x72 = -41.3643032722656

x73 = 40.317105721069

x74 = 62.8318530716058

x75 = -34.5575191892821

x76 = -62.8318530722078

x77 = -24.60914245312

x78 = -100.007366139275

x79 = 75.3982236853759

x80 = 94.2477796076942 + 1.56897037448162e-14*i

x81 = 97.3893722615173

x82 = 47.1238898042683

x83 = -69.1150383791925

x84 = -18.8495559219343

x85 = -81.6814089933471

x86 = -9.94837673636768

x87 = 25.6563400043166

x88 = 72.2566310325643

x89 = 63.3554518473942

x90 = -84.8230016465504

x91 = -12.5663706152473

x92 = 59.1666616426078

x93 = -56.5486677655704

x94 = -65.9734457253947 + 3.38138064852427e-12*i

x95 = -15.7079632679513

x96 = 50.265482457434

x97 = 81.6814089899804 + 3.46676475101398e-9*i

График