cos(2*x)+8*sin(x)=3 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos(2*x)+8*sin(x)=3

Вы ввели

cos(2*x) + 8*sin(x) = 3

$$8 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 3$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$8 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 3$$
преобразуем
$$8 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} - 3 = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 8 \sin{\left(x \right)} - 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 8$$
$$c = -2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(8)^2 - 4 * (-2) * (-2) = 48

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
Упростить
$$w_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(2 - \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(2 - \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(2 - \sqrt{3} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(2 - \sqrt{3} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}$$

Быстрый ответ

           /                         ______________\
           |  /      ___\     ___   /          ___ |
x1 = -I*log\I*\2 - \/ 3 / - \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  /

$$x_{1} = - i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)}$$

           /                         ______________\
           |  /      ___\     ___   /          ___ |
x2 = -I*log\I*\2 - \/ 3 / + \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  /

$$x_{2} = - i \log{\left(\sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)}$$

               /                     _____________\
     pi        |      ___     ___   /         ___ |
x3 = -- - I*log\2 + \/ 3  + \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  /
     2                                             

$$x_{3} = \frac{\pi}{2} - i \log{\left(\sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} \right)}$$

               /                     _____________\
     pi        |      ___     ___   /         ___ |
x4 = -- - I*log\2 + \/ 3  - \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  /
     2                                             

$$x_{4} = \frac{\pi}{2} - i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

         /                         ______________\        /                         ______________\             /                     _____________\             /                     _____________\
         |  /      ___\     ___   /          ___ |        |  /      ___\     ___   /          ___ |   pi        |      ___     ___   /         ___ |   pi        |      ___     ___   /         ___ |
0 - I*log\I*\2 - \/ 3 / - \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  / - I*log\I*\2 - \/ 3 / + \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  / + -- - I*log\2 + \/ 3  + \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  / + -- - I*log\2 + \/ 3  - \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  /
                                                                                                      2                                                2                                             

$$\left(\left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(\sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} \right)}\right) + \left(- i \log{\left(\sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)} + \left(0 - i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)}\right)\right)\right) + \left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2 \right)}\right)$$

=

          /                         ______________\        /                         ______________\        /                     _____________\        /                     _____________\
          |  /      ___\     ___   /          ___ |        |  /      ___\     ___   /          ___ |        |      ___     ___   /         ___ |        |      ___     ___   /         ___ |
pi - I*log\I*\2 - \/ 3 / + \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  / - I*log\I*\2 - \/ 3 / - \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  / - I*log\2 + \/ 3  + \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  / - I*log\2 + \/ 3  - \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  /

$$- i \log{\left(\sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)} - i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)} + \pi - i \log{\left(\sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} \right)} - i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$

произведение

        /                         ______________\       /                         ______________\ /          /                     _____________\\ /          /                     _____________\\
        |  /      ___\     ___   /          ___ |       |  /      ___\     ___   /          ___ | |pi        |      ___     ___   /         ___ || |pi        |      ___     ___   /         ___ ||
1*-I*log\I*\2 - \/ 3 / - \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  /*-I*log\I*\2 - \/ 3 / + \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  /*|-- - I*log\2 + \/ 3  + \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  /|*|-- - I*log\2 + \/ 3  - \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  /|
                                                                                                  \2                                             / \2                                             /

$$- i \log{\left(\sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)} 1 \left(- i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)}\right) \left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(\sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} \right)}\right) \left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2 \right)}\right)$$

=

 /            /                     _____________\\ /            /                     _____________\\    /                         ______________\    /                         ______________\ 
 |            |      ___     ___   /         ___ || |            |      ___     ___   /         ___ ||    |  /      ___\     ___   /          ___ |    |  /      ___\     ___   /          ___ | 
-\pi - 2*I*log\2 + \/ 3  + \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  //*\pi - 2*I*log\2 + \/ 3  - \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  //*log\I*\2 - \/ 3 / + \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  /*log\I*\2 - \/ 3 / - \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  / 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                4                                                                                                

$$- \frac{\left(\pi - 2 i \log{\left(\sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} \right)}\right) \left(\pi - 2 i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2 \right)}\right) \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)} \log{\left(\sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)}}{4}$$

Численный ответ

x1 = -213.35703669038

x2 = 63.1031168255219

x3 = 40.5694407429413

x4 = 2.87032889986377

x5 = -75.126959932429

x6 = 97.1181085075576

x7 = -43.7110333965311

x8 = -68.8437746252494

x9 = -87.6933305467882

x10 = 100.802228668599

x11 = 56.8199315183423

x12 = -59.9615241719321

x13 = 19.1208196752648

x14 = 90.834923200378

x15 = -100.259701161147

x16 = -56.2774040108903

x17 = 59.41899666448

x18 = -78.8110800934708

x19 = 9.15351420704336

x20 = -47.3951535575729

x21 = -12.2951068606332

x22 = 44.2535609039831

x23 = -53.6783388647525

x24 = 50.5367462111627

x25 = -66.2447094791117

x26 = -49.9942187037107

x27 = 6.55444906090561

x28 = 84.5517378931984

x29 = -15.979227021675

x30 = 71.9853672788392

x31 = -62.5605893180698

x32 = 398.711003252178

x33 = 31.687190289624

x34 = 128.534035043456

x35 = 21.7198848214025

x36 = -6581.90787302434

x37 = 15.4366995142229

x38 = 65.7021819716596

x39 = 53.1358113573005

x40 = 28.0030701285821

x41 = -97.6606360150096

x42 = -91.37745070783

x43 = 12.8376343680852

x44 = 69.3863021327015

x45 = -22.2624123288546

x46 = -81.4101452396086

x47 = -9.6960417144954

x48 = 81.9526727470606

x49 = -41.1119682503933

x50 = 34.2862554357617

x51 = -34.8287829432137

x52 = -6.01192155345357

x53 = 37.9703755968035

x54 = -72.5278947862913

x55 = -93.9765158539678

x56 = -18.5782921678127

x57 = -24.8614774749923

x58 = 2758.58961360556

x59 = -28.5455976360342

x60 = -85.0942654006504

x61 = 94.5190433614198

x62 = -3.41285640731581

x63 = 46.8526260501209

x64 = 25.4040049824444

x65 = -31.1446627821719

x66 = 88.2358580542402

x67 = 75.6694874398811

x68 = 78.2685525860188

x69 = -37.4278480893515

x70 = 0.271263753726021

График