Решите уравнение cos(2*x)+8*sin(x)=3 (косинус от (2 умножить на х) плюс 8 умножить на синус от (х) равно 3) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

cos(2*x)+8*sin(x)=3 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: cos(2*x)+8*sin(x)=3

    Решение

    Вы ввели [src]
    cos(2*x) + 8*sin(x) = 3
    $$8 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 3$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$8 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 3$$
    преобразуем
    $$8 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} - 3 = 0$$
    $$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 8 \sin{\left(x \right)} - 2 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \sin{\left(x \right)}$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -2$$
    $$b = 8$$
    $$c = -2$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (8)^2 - 4 * (-2) * (-2) = 48

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
    Упростить
    $$w_{2} = \sqrt{3} + 2$$
    Упростить
    делаем обратную замену
    $$\sin{\left(x \right)} = w$$
    Дано уравнение
    $$\sin{\left(x \right)} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
    Или
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(2 - \sqrt{3} \right)}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(2 - \sqrt{3} \right)}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(2 - \sqrt{3} \right)} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(2 - \sqrt{3} \right)} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}$$
    $$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
               /                         ______________\
               |  /      ___\     ___   /          ___ |
    x1 = -I*log\I*\2 - \/ 3 / - \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  /
    $$x_{1} = - i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)}$$
               /                         ______________\
               |  /      ___\     ___   /          ___ |
    x2 = -I*log\I*\2 - \/ 3 / + \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  /
    $$x_{2} = - i \log{\left(\sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)}$$
                   /                     _____________\
         pi        |      ___     ___   /         ___ |
    x3 = -- - I*log\2 + \/ 3  + \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  /
         2                                             
    $$x_{3} = \frac{\pi}{2} - i \log{\left(\sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} \right)}$$
                   /                     _____________\
         pi        |      ___     ___   /         ___ |
    x4 = -- - I*log\2 + \/ 3  - \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  /
         2                                             
    $$x_{4} = \frac{\pi}{2} - i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
           /                         ______________\        /                         ______________\             /                     _____________\             /                     _____________\
           |  /      ___\     ___   /          ___ |        |  /      ___\     ___   /          ___ |   pi        |      ___     ___   /         ___ |   pi        |      ___     ___   /         ___ |
    - I*log\I*\2 - \/ 3 / - \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  / - I*log\I*\2 - \/ 3 / + \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  / + -- - I*log\2 + \/ 3  + \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  / + -- - I*log\2 + \/ 3  - \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  /
                                                                                                        2                                                2                                             
    $$\left(\left(- i \log{\left(\sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)} - i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)}\right) + \left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(\sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} \right)}\right)\right) + \left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2 \right)}\right)$$
    =
              /                         ______________\        /                         ______________\        /                     _____________\        /                     _____________\
              |  /      ___\     ___   /          ___ |        |  /      ___\     ___   /          ___ |        |      ___     ___   /         ___ |        |      ___     ___   /         ___ |
    pi - I*log\I*\2 - \/ 3 / + \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  / - I*log\I*\2 - \/ 3 / - \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  / - I*log\2 + \/ 3  + \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  / - I*log\2 + \/ 3  - \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  /
    $$- i \log{\left(\sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)} - i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)} + \pi - i \log{\left(\sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} \right)} - i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
    произведение
          /                         ______________\ /      /                         ______________\\ /          /                     _____________\\ /          /                     _____________\\
          |  /      ___\     ___   /          ___ | |      |  /      ___\     ___   /          ___ || |pi        |      ___     ___   /         ___ || |pi        |      ___     ___   /         ___ ||
    -I*log\I*\2 - \/ 3 / - \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  /*\-I*log\I*\2 - \/ 3 / + \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  //*|-- - I*log\2 + \/ 3  + \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  /|*|-- - I*log\2 + \/ 3  - \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  /|
                                                                                                      \2                                             / \2                                             /
    $$- i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)} \left(- i \log{\left(\sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)}\right) \left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(\sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} \right)}\right) \left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2 \right)}\right)$$
    =
     /            /                     _____________\\ /            /                     _____________\\    /                         ______________\    /                         ______________\ 
     |            |      ___     ___   /         ___ || |            |      ___     ___   /         ___ ||    |  /      ___\     ___   /          ___ |    |  /      ___\     ___   /          ___ | 
    -\pi - 2*I*log\2 + \/ 3  + \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  //*\pi - 2*I*log\2 + \/ 3  - \/ 2 *\/  3 + 2*\/ 3  //*log\I*\2 - \/ 3 / + \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  /*log\I*\2 - \/ 3 / - \/ 2 *\/  -3 + 2*\/ 3  / 
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                    4                                                                                                
    $$- \frac{\left(\pi - 2 i \log{\left(\sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} \right)}\right) \left(\pi - 2 i \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2 \right)}\right) \log{\left(- \sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)} \log{\left(\sqrt{2} \sqrt{-3 + 2 \sqrt{3}} + i \left(2 - \sqrt{3}\right) \right)}}{4}$$
    Численный ответ [src]
    x1 = 81.9526727470606
    x2 = -97.6606360150096
    x3 = -53.6783388647525
    x4 = -3.41285640731581
    x5 = -6581.90787302434
    x6 = 6.55444906090561
    x7 = -9.6960417144954
    x8 = 75.6694874398811
    x9 = -31.1446627821719
    x10 = -100.259701161147
    x11 = 50.5367462111627
    x12 = 53.1358113573005
    x13 = 40.5694407429413
    x14 = 88.2358580542402
    x15 = 56.8199315183423
    x16 = 21.7198848214025
    x17 = -15.979227021675
    x18 = 59.41899666448
    x19 = 9.15351420704336
    x20 = 100.802228668599
    x21 = -43.7110333965311
    x22 = -72.5278947862913
    x23 = -56.2774040108903
    x24 = 65.7021819716596
    x25 = -41.1119682503933
    x26 = -81.4101452396086
    x27 = -18.5782921678127
    x28 = -91.37745070783
    x29 = 19.1208196752648
    x30 = -47.3951535575729
    x31 = 90.834923200378
    x32 = -62.5605893180698
    x33 = 94.5190433614198
    x34 = 31.687190289624
    x35 = 84.5517378931984
    x36 = -34.8287829432137
    x37 = 71.9853672788392
    x38 = 78.2685525860188
    x39 = -85.0942654006504
    x40 = -213.35703669038
    x41 = -66.2447094791117
    x42 = 15.4366995142229
    x43 = -22.2624123288546
    x44 = 28.0030701285821
    x45 = -68.8437746252494
    x46 = -49.9942187037107
    x47 = 12.8376343680852
    x48 = 63.1031168255219
    x49 = -78.8110800934708
    x50 = 97.1181085075576
    x51 = 44.2535609039831
    x52 = 398.711003252178
    x53 = 2.87032889986377
    x54 = -59.9615241719321
    x55 = 2758.58961360556
    x56 = 0.271263753726021
    x57 = -24.8614774749923
    x58 = -87.6933305467882
    x59 = 25.4040049824444
    x60 = -28.5455976360342
    x61 = 69.3863021327015
    x62 = 46.8526260501209
    x63 = 128.534035043456
    x64 = -93.9765158539678
    x65 = -6.01192155345357
    x66 = -75.126959932429
    x67 = -12.2951068606332
    x68 = -37.4278480893515
    x69 = 34.2862554357617
    x70 = 37.9703755968035
    График
    cos(2*x)+8*sin(x)=3 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/c/77/518074196de21b583d57790ec4c50.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: