49^x-5*7^x+6=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 49^x-5*7^x+6=0

Вы ввели

  x      x        
49  - 5*7  + 6 = 0

$$49^{x} - 5 \cdot 7^{x} + 6 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$49^{x} - 5 \cdot 7^{x} + 6 = 0$$
или
$$\left(49^{x} - 5 \cdot 7^{x} + 6\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 7^{x}$$
получим
$$v^{2} - 5 v + 6 = 0$$
или
$$v^{2} - 5 v + 6 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -5$$
$$c = 6$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (1) * (6) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 3$$
Упростить
$$v_{2} = 2$$
Упростить
делаем обратную замену
$$7^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(7 \right)}} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(7 \right)}} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$$

Быстрый ответ

     log(2)
x1 = ------
     log(7)

$$x_{1} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$$

     log(3)
x2 = ------
     log(7)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    log(2)   log(3)
0 + ------ + ------
    log(7)   log(7)

$$\left(0 + \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}\right) + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$$

=

log(2)   log(3)
------ + ------
log(7)   log(7)

$$\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(7 \right)}} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$$

произведение

  log(2) log(3)
1*------*------
  log(7) log(7)

$$1 \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(7 \right)}} \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$$

=

log(2)*log(3)
-------------
      2      
   log (7)   

$$\frac{\log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}{\log{\left(7 \right)}^{2}}$$

Численный ответ

x1 = 0.356207187108022

x2 = 0.56457503405358

График