3cosx-cos^2x=0 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: 3cosx-cos^2x=0
Решение
Подробное решение
Дано уравнение− cos 2 ( x ) + 3 cos ( x ) = 0 - \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 0 − cos 2 ( x ) + 3 cos ( x ) = 0 преобразуем( 3 − cos ( x ) ) cos ( x ) = 0 \left(3 - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = 0 ( 3 − cos ( x ) ) cos ( x ) = 0 ( − cos 2 ( x ) + 3 cos ( x ) ) + 0 = 0 \left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 0 = 0 ( − cos 2 ( x ) + 3 cos ( x ) ) + 0 = 0 Сделаем заменуw = cos ( x ) w = \cos{\left(x \right)} w = cos ( x ) Это уравнение видаa*w^2 + b*w + c = 0 Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Корни квадратного уравнения:w 1 = D − b 2 a w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a} w 1 = 2 a D − b w 2 = − D − b 2 a w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a} w 2 = 2 a − D − b где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант. Т.к.a = − 1 a = -1 a = − 1 b = 3 b = 3 b = 3 c = 0 c = 0 c = 0 , тоD = b^2 - 4 * a * c = (3)^2 - 4 * (-1) * (0) = 9 Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a) илиw 1 = 0 w_{1} = 0 w 1 = 0 Упростить w 2 = 3 w_{2} = 3 w 2 = 3 Упростить делаем обратную заменуcos ( x ) = w \cos{\left(x \right)} = w cos ( x ) = w Дано уравнениеcos ( x ) = w \cos{\left(x \right)} = w cos ( x ) = w - это простейшее тригонометрическое ур-ние Это ур-ние преобразуется вx = π n + acos ( w ) x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} x = πn + acos ( w ) x = π n + acos ( w ) − π x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi x = πn + acos ( w ) − π Илиx = π n + acos ( w ) x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} x = πn + acos ( w ) x = π n + acos ( w ) − π x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi x = πn + acos ( w ) − π , где n - любое целое число подставляем w:x 1 = π n + acos ( w 1 ) x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} x 1 = πn + acos ( w 1 ) x 1 = π n + acos ( 0 ) x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)} x 1 = πn + acos ( 0 ) x 1 = π n + π 2 x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2} x 1 = πn + 2 π x 2 = π n + acos ( w 2 ) x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} x 2 = πn + acos ( w 2 ) x 2 = π n + acos ( 3 ) x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(3 \right)} x 2 = πn + acos ( 3 ) x 2 = π n + acos ( 3 ) x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(3 \right)} x 2 = πn + acos ( 3 ) x 3 = π n + acos ( w 1 ) − π x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi x 3 = πn + acos ( w 1 ) − π x 3 = π n − π + acos ( 0 ) x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)} x 3 = πn − π + acos ( 0 ) x 3 = π n − π 2 x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{2} x 3 = πn − 2 π x 4 = π n + acos ( w 2 ) − π x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi x 4 = πn + acos ( w 2 ) − π x 4 = π n − π + acos ( 3 ) x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(3 \right)} x 4 = πn − π + acos ( 3 ) x 4 = π n − π + acos ( 3 ) x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(3 \right)} x 4 = πn − π + acos ( 3 )
График
0 -80 -60 -40 -20 20 40 60 80 -100 100 5 -5
Сумма и произведение корней
[src] pi 3*pi
0 + -- + ---- + 2*pi - I*im(acos(3)) + I*im(acos(3)) + re(acos(3))
2 2 ( ( ( 0 + π 2 ) + 3 π 2 ) + ( 2 π − i im ( acos ( 3 ) ) ) ) + ( re ( acos ( 3 ) ) + i im ( acos ( 3 ) ) ) \left(\left(\left(0 + \frac{\pi}{2}\right) + \frac{3 \pi}{2}\right) + \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right) ( ( ( 0 + 2 π ) + 2 3 π ) + ( 2 π − i im ( acos ( 3 ) ) ) ) + ( re ( acos ( 3 ) ) + i im ( acos ( 3 ) ) ) re ( acos ( 3 ) ) + 4 π \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + 4 \pi re ( acos ( 3 ) ) + 4 π pi 3*pi
1*--*----*(2*pi - I*im(acos(3)))*(I*im(acos(3)) + re(acos(3)))
2 2 3 π 2 ⋅ 1 π 2 ⋅ ( 2 π − i im ( acos ( 3 ) ) ) ( re ( acos ( 3 ) ) + i im ( acos ( 3 ) ) ) \frac{3 \pi}{2} \cdot 1 \frac{\pi}{2} \cdot \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right) 2 3 π ⋅ 1 2 π ⋅ ( 2 π − i im ( acos ( 3 ) ) ) ( re ( acos ( 3 ) ) + i im ( acos ( 3 ) ) ) 2
3*pi *(2*pi - I*im(acos(3)))*(I*im(acos(3)) + re(acos(3)))
----------------------------------------------------------
4 3 π 2 ⋅ ( 2 π − i im ( acos ( 3 ) ) ) ( re ( acos ( 3 ) ) + i im ( acos ( 3 ) ) ) 4 \frac{3 \pi^{2} \cdot \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right)}{4} 4 3 π 2 ⋅ ( 2 π − i im ( acos ( 3 ) ) ) ( re ( acos ( 3 ) ) + i im ( acos ( 3 ) ) ) x 1 = π 2 x_{1} = \frac{\pi}{2} x 1 = 2 π x 2 = 3 π 2 x_{2} = \frac{3 \pi}{2} x 2 = 2 3 π x3 = 2*pi - I*im(acos(3)) x 3 = 2 π − i im ( acos ( 3 ) ) x_{3} = 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} x 3 = 2 π − i im ( acos ( 3 ) ) x4 = I*im(acos(3)) + re(acos(3)) x 4 = re ( acos ( 3 ) ) + i im ( acos ( 3 ) ) x_{4} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} x 4 = re ( acos ( 3 ) ) + i im ( acos ( 3 ) )