3cosx-cos^2x=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: 3cosx-cos^2x=0

    Решение

    Вы ввели [src]
                  2       
    3*cos(x) - cos (x) = 0
    cos2(x)+3cos(x)=0- \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 0
    Подробное решение
    Дано уравнение
    cos2(x)+3cos(x)=0- \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 0
    преобразуем
    (3cos(x))cos(x)=0\left(3 - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = 0
    (cos2(x)+3cos(x))+0=0\left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 0 = 0
    Сделаем замену
    w=cos(x)w = \cos{\left(x \right)}
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    w1=Db2aw_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
    w2=Db2aw_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    a=1a = -1
    b=3b = 3
    c=0c = 0
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (3)^2 - 4 * (-1) * (0) = 9

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    w1=0w_{1} = 0
    Упростить
    w2=3w_{2} = 3
    Упростить
    делаем обратную замену
    cos(x)=w\cos{\left(x \right)} = w
    Дано уравнение
    cos(x)=w\cos{\left(x \right)} = w
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    x=πn+acos(w)x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}
    x=πn+acos(w)πx = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi
    Или
    x=πn+acos(w)x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}
    x=πn+acos(w)πx = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    x1=πn+acos(w1)x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}
    x1=πn+acos(0)x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}
    x1=πn+π2x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}
    x2=πn+acos(w2)x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}
    x2=πn+acos(3)x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(3 \right)}
    x2=πn+acos(3)x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(3 \right)}
    x3=πn+acos(w1)πx_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi
    x3=πnπ+acos(0)x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}
    x3=πnπ2x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{2}
    x4=πn+acos(w2)πx_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi
    x4=πnπ+acos(3)x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(3 \right)}
    x4=πnπ+acos(3)x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(3 \right)}
    График
    0-80-60-40-2020406080-1001005-5
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
        pi   3*pi                                                     
    0 + -- + ---- + 2*pi - I*im(acos(3)) + I*im(acos(3)) + re(acos(3))
        2     2                                                       
    (((0+π2)+3π2)+(2πiim(acos(3))))+(re(acos(3))+iim(acos(3)))\left(\left(\left(0 + \frac{\pi}{2}\right) + \frac{3 \pi}{2}\right) + \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right)
    =
    4*pi + re(acos(3))
    re(acos(3))+4π\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + 4 \pi
    произведение
      pi 3*pi                                                     
    1*--*----*(2*pi - I*im(acos(3)))*(I*im(acos(3)) + re(acos(3)))
      2   2                                                       
    3π21π2(2πiim(acos(3)))(re(acos(3))+iim(acos(3)))\frac{3 \pi}{2} \cdot 1 \frac{\pi}{2} \cdot \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right)
    =
        2                                                     
    3*pi *(2*pi - I*im(acos(3)))*(I*im(acos(3)) + re(acos(3)))
    ----------------------------------------------------------
                                4                             
    3π2(2πiim(acos(3)))(re(acos(3))+iim(acos(3)))4\frac{3 \pi^{2} \cdot \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right)}{4}
    Быстрый ответ [src]
         pi
    x1 = --
         2 
    x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
         3*pi
    x2 = ----
          2  
    x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
    x3 = 2*pi - I*im(acos(3))
    x3=2πiim(acos(3))x_{3} = 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}
    x4 = I*im(acos(3)) + re(acos(3))
    x4=re(acos(3))+iim(acos(3))x_{4} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}
    Численный ответ [src]
    x1 = 64.4026493985908
    x2 = -42.4115008234622
    x3 = 54.9778714378214
    x4 = 70.6858347057703
    x5 = -5467.94201357304
    x6 = 39.2699081698724
    x7 = 76.9690200129499
    x8 = -23.5619449019235
    x9 = 73.8274273593601
    x10 = 95.8185759344887
    x11 = -83.2522053201295
    x12 = 67.5442420521806
    x13 = 1.5707963267949
    x14 = -45.553093477052
    x15 = 98.9601685880785
    x16 = 32.9867228626928
    x17 = -54.9778714378214
    x18 = 221.48228207808
    x19 = 89.5353906273091
    x20 = -20.4203522483337
    x21 = 61.261056745001
    x22 = -7.85398163397448
    x23 = 86.3937979737193
    x24 = -10.9955742875643
    x25 = 14.1371669411541
    x26 = -80.1106126665397
    x27 = -64.4026493985908
    x28 = -17836.3922907561
    x29 = -73.8274273593601
    x30 = -26.7035375555132
    x31 = -14.1371669411541
    x32 = 7.85398163397448
    x33 = -92.6769832808989
    x34 = 29.845130209103
    x35 = -67.5442420521806
    x36 = 58.1194640914112
    x37 = -48.6946861306418
    x38 = -76.9690200129499
    x39 = -61.261056745001
    x40 = -29.845130209103
    x41 = 17.2787595947439
    x42 = 139.800873084746
    x43 = 48.6946861306418
    x44 = 45.553093477052
    x45 = 42.4115008234622
    x46 = 80.1106126665397
    x47 = 83.2522053201295
    x48 = 10.9955742875643
    x49 = -89.5353906273091
    x50 = -58.1194640914112
    x51 = -39.2699081698724
    x52 = -86.3937979737193
    x53 = 23.5619449019235
    x54 = -17.2787595947439
    x55 = 36.1283155162826
    x56 = 92.6769832808989
    x57 = -95.8185759344887
    x58 = -70.6858347057703
    x59 = 4.71238898038469
    x60 = 51.8362787842316
    x61 = -661.305253580651
    x62 = -98.9601685880785
    x63 = -32.9867228626928
    x64 = 20.4203522483337
    x65 = -4.71238898038469
    x66 = -36.1283155162826
    x67 = -1415.2874904422
    x68 = 26.7035375555132
    x69 = -51.8362787842316
    x70 = -1.5707963267949
    График
    3cosx-cos^2x=0 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/b/c1/4efcc998712695715657dfd0abf19.png