Разложить многочлен на множители x^4-x^2+1

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Решение

Комбинаторика [src]
     4    2
1 + x  - x 
x4x2+1x^{4} - x^{2} + 1
Объединение рациональных выражений [src]
     2 /      2\
1 + x *\-1 + x /
x2(x21)+1x^{2} \left(x^{2} - 1\right) + 1
Разложение на множители [src]
/          ___\ /            ___\ /        ___    \ /            ___\
|    I   \/ 3 | |      I   \/ 3 | |      \/ 3    I| |      I   \/ 3 |
|x + - + -----|*|x + - - + -----|*|x + - ----- + -|*|x + - - - -----|
\    2     2  / \      2     2  / \        2     2/ \      2     2  /
(x+(32i2))(x+(32+i2))(x+(32+i2))(x+(32i2))\left(x + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right)\right) \left(x + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)\right) \left(x + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)\right) \left(x + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right)\right)
Выделение полного квадрата
Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена
(x4x2)+1\left(x^{4} - x^{2}\right) + 1
Для этого воспользуемся формулой
ax4+bx2+c=a(m+x2)2+na x^{4} + b x^{2} + c = a \left(m + x^{2}\right)^{2} + n
где
m=b2am = \frac{b}{2 a}
n=4acb24an = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}
В нашем случае
a=1a = 1
b=1b = -1
c=1c = 1
Тогда
m=12m = - \frac{1}{2}
n=34n = \frac{3}{4}
Итак,
(x212)2+34\left(x^{2} - \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}