График функции y = x*(sin(x)+1)

Вы ввели

f(x) = x*(sin(x) + 1)

$$f{\left (x \right )} = x \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 86.3937978872$$
$$x_{2} = 17.2787599746$$
$$x_{3} = 23.5619451579$$
$$x_{4} = 10.9955739667$$
$$x_{5} = -7.85398172589$$
$$x_{6} = -20.4203520128$$
$$x_{7} = -95.8185758682$$
$$x_{8} = -1.57079748776$$
$$x_{9} = -58.119463998$$
$$x_{10} = -51.8362786897$$
$$x_{11} = 29.8451304743$$
$$x_{12} = 73.8274275122$$
$$x_{13} = -58.1194639904$$
$$x_{14} = -39.2699084181$$
$$x_{15} = 4.71238964968$$
$$x_{16} = -1.57079644644$$
$$x_{17} = -14.1371668388$$
$$x_{18} = -89.5353906759$$
$$x_{19} = 0$$
$$x_{20} = 36.1283157256$$
$$x_{21} = 48.6946859037$$
$$x_{22} = -45.5530935917$$
$$x_{23} = -1.57079604456$$
$$x_{24} = 86.3937978925$$
$$x_{25} = -89.5353907506$$
$$x_{26} = 73.8274274835$$
$$x_{27} = -1.57079618987$$
$$x_{28} = 42.4115008644$$
$$x_{29} = 42.411500728$$
$$x_{30} = 4.71238877227$$
$$x_{31} = 29.8451303241$$
$$x_{32} = -7.85398150181$$
$$x_{33} = -45.5530936216$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*(sin(x) + 1).
$$0 \left(\sin{\left (0 \right )} + 1\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -17.3936178603$$
$$x_{2} = 67.5442420522$$
$$x_{3} = -95.8185759345$$
$$x_{4} = 86.3937979737$$
$$x_{5} = 83.2762206256$$
$$x_{6} = -76.9690200129$$
$$x_{7} = 61.261056745$$
$$x_{8} = -70.6858347058$$
$$x_{9} = -89.5353906273$$
$$x_{10} = 76.9949942672$$
$$x_{11} = 26.7781905112$$
$$x_{12} = 92.6769832809$$
$$x_{13} = -36.183575148$$
$$x_{14} = -32.9867228627$$
$$x_{15} = 45.5969490306$$
$$x_{16} = 17.2787595947$$
$$x_{17} = 95.8394434119$$
$$x_{18} = -29.9119681844$$
$$x_{19} = 14.2770237477$$
$$x_{20} = 8.09966225317$$
$$x_{21} = -67.5738371455$$
$$x_{22} = 36.1283155163$$
$$x_{23} = 73.8274273594$$
$$x_{24} = 51.874828354$$
$$x_{25} = -14.1371669412$$
$$x_{26} = 80.1106126665$$
$$x_{27} = -23.6464737423$$
$$x_{28} = 10.9955742876$$
$$x_{29} = 2.36950073185$$
$$x_{30} = 23.5619449019$$
$$x_{31} = -39.2699081699$$
$$x_{32} = -55.0142216707$$
$$x_{33} = 33.047223857$$
$$x_{34} = 58.153852233$$
$$x_{35} = -48.7357180364$$
$$x_{36} = -26.7035375555$$
$$x_{37} = -92.6985577527$$
$$x_{38} = -83.2522053201$$
$$x_{39} = -11.1740843245$$
$$x_{40} = -42.4585968291$$
$$x_{41} = -86.4169405511$$
$$x_{42} = 89.5577216653$$
$$x_{43} = 98.9601685881$$
$$x_{44} = -45.5530934771$$
$$x_{45} = -51.8362787842$$
$$x_{46} = -64.4026493986$$
$$x_{47} = 4.71238898038$$
$$x_{48} = 54.9778714378$$
$$x_{49} = -98.9803739265$$
$$x_{50} = 39.3207609238$$
$$x_{51} = -73.8545059751$$
$$x_{52} = -5.09965827157$$
$$x_{53} = -20.4203522483$$
$$x_{54} = 70.7141157169$$
$$x_{55} = -7.85398163397$$
$$x_{56} = 64.4336865711$$
$$x_{57} = -0.555968430719$$
$$x_{58} = -58.1194640914$$
$$x_{59} = -1.57079632679$$
$$x_{60} = -80.1355690775$$
$$x_{61} = 48.6946861306$$
$$x_{62} = 29.8451302091$$
$$x_{63} = 42.4115008235$$
$$x_{64} = -61.29368364$$
$$x_{65} = 20.5177517424$$
Зн. экстремумы в точках:

(-17.3936178603, -34.6726298316365)

(67.5442420522, 0)

(-95.8185759345, 0)

(86.3937979737, 0)

(83.2762206256, 166.528428254072)

(-76.9690200129, 0)

(61.261056745, 0)

(-70.6858347058, 0)

(-89.5353906273, 0)

(76.9949942672, 153.964017200665)

(26.7781905112, 53.4817973883465)

(92.6769832809, 0)

(-36.183575148, -72.3119187836882)

(-32.9867228627, 0)

(45.5969490306, 91.1500565642304)

(17.2787595947, 0)

(95.8394434119, 191.658020860857)

(-29.9119681844, -59.7571481468188)

(14.2770237477, 28.4146461746833)

(8.09966225317, 15.9561079436995)

(-67.5738371455, -135.118083517781)

(36.1283155163, 0)

(73.8274273594, 0)

(51.874828354, 103.711116685426)

(-14.1371669412, 0)

(80.1106126665, 0)

(-23.6464737423, -47.20851926977)

(10.9955742876, 0)

(2.36950073185, 4.02254862430004)

(23.5619449019, 0)

(-39.2699081699, 0)

(-55.0142216707, -109.992101113205)

(33.047223857, 66.0339836222372)

(58.153852233, 116.273323101609)

(-48.7357180364, -97.4304156797378)

(-26.7035375555, 0)

(-92.6985577527, -185.375542707259)

(-83.2522053201, 0)

(-11.1740843245, -22.1706051644735)

(-42.4585968291, -84.8701150606823)

(-86.4169405511, -172.81074059057)

(89.5577216653, 179.093114148573)

(98.9601685881, 0)

(-45.5530934771, 0)

(-51.8362787842, 0)

(-64.4026493986, 0)

(4.71238898038, 0)

(54.9778714378, 0)

(-98.9803739265, -197.940543889421)

(39.3207609238, 78.5906910084353)

(-73.8545059751, -147.681936643605)

(-5.09965827157, -9.82165519969318)

(-20.4203522483, 0)

(70.7141157169, 141.39995419248)

(-7.85398163397, 0)

(64.4336865711, 128.836340952514)

(-0.555968430719, -0.26254712771145)

(-58.1194640914, 0)

(-1.57079632679, 0)

(-80.1355690775, -160.246184334537)

(48.6946861306, 0)

(29.8451302091, 0)

(42.4115008235, 0)

(-61.29368364, -122.554746173286)

(20.5177517424, 40.938257917071)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{65} = -17.3936178603$$
$$x_{65} = 67.5442420522$$
$$x_{65} = 86.3937979737$$
$$x_{65} = 61.261056745$$
$$x_{65} = 92.6769832809$$
$$x_{65} = -36.183575148$$
$$x_{65} = 17.2787595947$$
$$x_{65} = -29.9119681844$$
$$x_{65} = -67.5738371455$$
$$x_{65} = 36.1283155163$$
$$x_{65} = 73.8274273594$$
$$x_{65} = 80.1106126665$$
$$x_{65} = -23.6464737423$$
$$x_{65} = 10.9955742876$$
$$x_{65} = 23.5619449019$$
$$x_{65} = -55.0142216707$$
$$x_{65} = -48.7357180364$$
$$x_{65} = -92.6985577527$$
$$x_{65} = -11.1740843245$$
$$x_{65} = -42.4585968291$$
$$x_{65} = -86.4169405511$$
$$x_{65} = 98.9601685881$$
$$x_{65} = 4.71238898038$$
$$x_{65} = 54.9778714378$$
$$x_{65} = -98.9803739265$$
$$x_{65} = -73.8545059751$$
$$x_{65} = -5.09965827157$$
$$x_{65} = -0.555968430719$$
$$x_{65} = -80.1355690775$$
$$x_{65} = 48.6946861306$$
$$x_{65} = 29.8451302091$$
$$x_{65} = 42.4115008235$$
$$x_{65} = -61.29368364$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{65} = -95.8185759345$$
$$x_{65} = 83.2762206256$$
$$x_{65} = -76.9690200129$$
$$x_{65} = -70.6858347058$$
$$x_{65} = -89.5353906273$$
$$x_{65} = 76.9949942672$$
$$x_{65} = 26.7781905112$$
$$x_{65} = -32.9867228627$$
$$x_{65} = 45.5969490306$$
$$x_{65} = 95.8394434119$$
$$x_{65} = 14.2770237477$$
$$x_{65} = 8.09966225317$$
$$x_{65} = 51.874828354$$
$$x_{65} = -14.1371669412$$
$$x_{65} = 2.36950073185$$
$$x_{65} = -39.2699081699$$
$$x_{65} = 33.047223857$$
$$x_{65} = 58.153852233$$
$$x_{65} = -26.7035375555$$
$$x_{65} = -83.2522053201$$
$$x_{65} = 89.5577216653$$
$$x_{65} = -45.5530934771$$
$$x_{65} = -51.8362787842$$
$$x_{65} = -64.4026493986$$
$$x_{65} = 39.3207609238$$
$$x_{65} = -20.4203522483$$
$$x_{65} = 70.7141157169$$
$$x_{65} = -7.85398163397$$
$$x_{65} = 64.4336865711$$
$$x_{65} = -58.1194640914$$
$$x_{65} = -1.57079632679$$
$$x_{65} = 20.5177517424$$
Убывает на промежутках

[98.9601685881, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -98.9803739265]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- x \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -97.4099011707$$
$$x_{2} = 94.2689923093$$
$$x_{3} = -128.82082299$$
$$x_{4} = 3.64359716743$$
$$x_{5} = 25.2119030642$$
$$x_{6} = -59.7237354324$$
$$x_{7} = -69.1439554765$$
$$x_{8} = 72.2842925037$$
$$x_{9} = 78.5652673846$$
$$x_{10} = 34.6152330552$$
$$x_{11} = 31.4793749203$$
$$x_{12} = -40.889577766$$
$$x_{13} = -72.2842925037$$
$$x_{14} = -31.4793749203$$
$$x_{15} = 53.4444796698$$
$$x_{16} = -94.2689923093$$
$$x_{17} = 84.8465692433$$
$$x_{18} = -44.0276918992$$
$$x_{19} = 75.4247339745$$
$$x_{20} = -56.5839987379$$
$$x_{21} = -9.6295603433$$
$$x_{22} = 37.7520396346$$
$$x_{23} = 18.9546817665$$
$$x_{24} = -28.3447768698$$
$$x_{25} = -6.57833373272$$
$$x_{26} = -25.2119030642$$
$$x_{27} = -84.8465692433$$
$$x_{28} = 1.07687398631$$
$$x_{29} = -100.550852725$$
$$x_{30} = -62.8636572287$$
$$x_{31} = -66.0037377708$$
$$x_{32} = -37.7520396346$$
$$x_{33} = 59.7237354324$$
$$x_{34} = -50.3052188363$$
$$x_{35} = 50.3052188363$$
$$x_{36} = 91.1281305511$$
$$x_{37} = 15.8336114149$$
$$x_{38} = -34.6152330552$$
$$x_{39} = 9.6295603433$$
$$x_{40} = -3.64359716743$$
$$x_{41} = -75.4247339745$$
$$x_{42} = -53.4444796698$$
$$x_{43} = 12.7222987718$$
$$x_{44} = -87.9873209347$$
$$x_{45} = 87.9873209347$$
$$x_{46} = 69.1439554765$$
$$x_{47} = -22.0814757673$$
$$x_{48} = -1.07687398631$$
$$x_{49} = 56.5839987379$$
$$x_{50} = 6.57833373272$$
$$x_{51} = 97.4099011707$$
$$x_{52} = 81.705882148$$
$$x_{53} = 62.8636572287$$
$$x_{54} = -78.5652673846$$
$$x_{55} = 28.3447768698$$
$$x_{56} = -47.1662676028$$
$$x_{57} = -15.8336114149$$
$$x_{58} = -91.1281305511$$
$$x_{59} = -18.9546817665$$
$$x_{60} = 40.889577766$$
$$x_{61} = 100.550852725$$
$$x_{62} = 22.0814757673$$
$$x_{63} = 66.0037377708$$
$$x_{64} = 44.0276918992$$
$$x_{65} = 47.1662676028$$
$$x_{66} = -12.7222987718$$
$$x_{67} = -81.705882148$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[97.4099011707, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -100.550852725]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)\right) = \langle -\infty, 0\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, 0\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right)\right) = \langle 0, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*(sin(x) + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right) = \langle 0, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, 2\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left (x \right )} + 1\right) = \langle 0, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, 2\rangle x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right) = - x \left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right)$$
- Нет
$$x \left(\sin{\left (x \right )} + 1\right) = - -1 x \left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной