(2/5)^x>2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (2/5)^x>2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   x    
2/5  > 2

$$\left(\frac{2}{5}\right)^{x} > 2$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(\frac{2}{5}\right)^{x} > 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(\frac{2}{5}\right)^{x} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(\frac{2}{5}\right)^{x} = 2$$
или
$$\left(\frac{2}{5}\right)^{x} - 2 = 0$$
или
$$\left(\frac{2}{5}\right)^{x} = 2$$
или
$$\left(\frac{2}{5}\right)^{x} = 2$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{2}{5}\right)^{x}$$
получим
$$v - 2 = 0$$
или
$$v - 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 2$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{2}{5}\right)^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{- \log{\left (5 \right )} + \log{\left (2 \right )}}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(\frac{2}{5}\right)^{x} > 2$$
$$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{19}{10}} > 2$$

   9/10 10___    
2*2    *\/ 5     
------------- > 2
      25         
    

Тогда
$$x < 2$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 2$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /                  log(2)     \
And|-oo < x, x < ----------------|
   \             -log(5) + log(2)/

$$-\infty < x \wedge x < \frac{\log{\left (2 \right )}}{- \log{\left (5 \right )} + \log{\left (2 \right )}}$$

Быстрый ответ 2

           log(2)      
(-oo, ----------------)
      -log(5) + log(2) 

$$x \in \left(-\infty, \frac{\log{\left (2 \right )}}{- \log{\left (5 \right )} + \log{\left (2 \right )}}\right)$$