cos(x/3+2)>=1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x/3+2)>=1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   /x    \       
cos|- + 2| >= 1/2
   \3    /       

$$\cos{\left(\frac{x}{3} + 2 \right)} \geq \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(\frac{x}{3} + 2 \right)} \geq \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(\frac{x}{3} + 2 \right)} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(\frac{x}{3} + 2 \right)} = \frac{1}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$\frac{x}{3} + 2 = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{3} + 2 = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Или
$$\frac{x}{3} + 2 = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$\frac{x}{3} + 2 = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
, где n - любое целое число
Перенесём
$$2$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$\frac{x}{3} = \pi n - 2 + \frac{\pi}{3}$$
$$\frac{x}{3} = \pi n - \frac{2 \pi}{3} - 2$$
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$\frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 3 \pi n - 6 + \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi n - 2 \pi - 6$$
$$x_{1} = 3 \pi n - 6 + \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi n - 2 \pi - 6$$
Данные корни
$$x_{1} = 3 \pi n - 6 + \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi n - 2 \pi - 6$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(3 \pi n - 6 + \pi\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$3 \pi n - \frac{61}{10} + \pi$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(\frac{x}{3} + 2 \right)} \geq \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\frac{3 \pi n - \frac{61}{10} + \pi}{3} + 2 \right)} \geq \frac{1}{2}$$

    n    /1    pi\       
(-1) *sin|-- + --| >= 1/2
         \30   6 /       

но

    n    /1    pi\      
(-1) *sin|-- + --| < 1/2
         \30   6 /      

Тогда
$$x \leq 3 \pi n - 6 + \pi$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 3 \pi n - 6 + \pi \wedge x \leq 3 \pi n - 2 \pi - 6$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

   /          /  /           /            ___       \\      /   ___________________\\       /  /         /             ___       \\      /   ___________________\\     \
   |          |  |           |-sin(2) + \/ 3 *cos(2)||      |  /    2         2    ||       |  |         | -sin(2) - \/ 3 *cos(2)||      |  /    2         2    ||     |
And|x <= -3*I*|I*|2*pi + atan|----------------------|| + log\\/  cos (2) + sin (2) /|, -3*I*|I*|pi + atan|-----------------------|| + log\\/  cos (2) + sin (2) /| <= x|
   |          |  |           |  ___                 ||                              |       |  |         |    ___                ||                              |     |
   \          \  \           \\/ 3 *sin(2) + cos(2) //                              /       \  \         \- \/ 3 *sin(2) + cos(2)//                              /     /

$$x \leq - 3 i \left(\log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(2 \right)} + \sin^{2}{\left(2 \right)}} \right)} + i \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{- \sin{\left(2 \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(2 \right)}}{\cos{\left(2 \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(2 \right)}} \right)} + 2 \pi\right)\right) \wedge - 3 i \left(\log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(2 \right)} + \sin^{2}{\left(2 \right)}} \right)} + i \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{- \sin{\left(2 \right)} - \sqrt{3} \cos{\left(2 \right)}}{- \sqrt{3} \sin{\left(2 \right)} + \cos{\left(2 \right)}} \right)} + \pi\right)\right) \leq x$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -6 + pi] U {-6 + 5*pi}

$$x \in \left(-\infty, -6 + \pi\right] \cup \left\{-6 + 5 \pi\right\}$$

График