p*x^2+(2*p-3)*x+p+3>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: p*x^2+(2*p-3)*x+p+3>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   2                          
p*x  + (2*p - 3)*x + p + 3 > 0

$$p + p x^{2} + x \left(2 p - 3\right) + 3 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$p + p x^{2} + x \left(2 p - 3\right) + 3 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$p + p x^{2} + x \left(2 p - 3\right) + 3 = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$p + p x^{2} + x \left(2 p - 3\right) + 3 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$p x^{2} + 2 p x + p - 3 x + 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = p$$
$$b = 2 p - 3$$
$$c = p + 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3 + 2*p)^2 - 4 * (p) * (3 + p) = (-3 + 2*p)^2 - 4*p*(3 + p)

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{1}{2 p} \left(- 2 p + \sqrt{- 4 p \left(p + 3\right) + \left(2 p - 3\right)^{2}} + 3\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 p} \left(- 2 p - \sqrt{- 4 p \left(p + 3\right) + \left(2 p - 3\right)^{2}} + 3\right)$$
$$x_{1} = \frac{1}{2 p} \left(- 2 p + \sqrt{- 4 p \left(p + 3\right) + \left(2 p - 3\right)^{2}} + 3\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 p} \left(- 2 p - \sqrt{- 4 p \left(p + 3\right) + \left(2 p - 3\right)^{2}} + 3\right)$$
$$x_{1} = \frac{1}{2 p} \left(- 2 p + \sqrt{- 4 p \left(p + 3\right) + \left(2 p - 3\right)^{2}} + 3\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 p} \left(- 2 p - \sqrt{- 4 p \left(p + 3\right) + \left(2 p - 3\right)^{2}} + 3\right)$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2 p} \left(- 2 p + \sqrt{- 4 p \left(p + 3\right) + \left(2 p - 3\right)^{2}} + 3\right)$$
$$x_{2} = \frac{1}{2 p} \left(- 2 p - \sqrt{- 4 p \left(p + 3\right) + \left(2 p - 3\right)^{2}} + 3\right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

       ___________________________           
      /           2                          
3 + \/  (-3 + 2*p)  - 4*p*(3 + p)  - 2*p   1 
---------------------------------------- - --
                     1                     10
                  2*p                        

=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2 p} \left(- 2 p + \sqrt{- 4 p \left(p + 3\right) + \left(2 p - 3\right)^{2}} + 3\right)$$
подставляем в выражение
$$p + p x^{2} + x \left(2 p - 3\right) + 3 > 0$$

                                                 2                                                                        
  /       ___________________________           \              /       ___________________________           \            
  |      /           2                          |              |      /           2                          |            
  |3 + \/  (-3 + 2*p)  - 4*p*(3 + p)  - 2*p   1 |              |3 + \/  (-3 + 2*p)  - 4*p*(3 + p)  - 2*p   1 |            
p*|---------------------------------------- - --|  + (2*p - 3)*|---------------------------------------- - --| + p + 3 > 0
  |                     1                     10|              |                     1                     10|            
  \                  2*p                        /              \                  2*p                        /            

                                                           2                                                                   
          /              ___________________________      \               /              ___________________________      \    
          |             /           2                     |               |             /           2                     |    
          |  1    3 + \/  (-3 + 2*p)  - 4*p*(3 + p)  - 2*p|               |  1    3 + \/  (-3 + 2*p)  - 4*p*(3 + p)  - 2*p| > 0
3 + p + p*|- -- + ----------------------------------------|  + (-3 + 2*p)*|- -- + ----------------------------------------|    
          \  10                     2*p                   /               \  10                     2*p                   /    
    

Тогда
$$x < \frac{1}{2 p} \left(- 2 p + \sqrt{- 4 p \left(p + 3\right) + \left(2 p - 3\right)^{2}} + 3\right)$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{2 p} \left(- 2 p + \sqrt{- 4 p \left(p + 3\right) + \left(2 p - 3\right)^{2}} + 3\right) \wedge x < \frac{1}{2 p} \left(- 2 p - \sqrt{- 4 p \left(p + 3\right) + \left(2 p - 3\right)^{2}} + 3\right)$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2