5^x<1/10 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 5^x<1/10 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x       
5  < 1/10

$$5^{x} < \frac{1}{10}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$5^{x} < \frac{1}{10}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$5^{x} = \frac{1}{10}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$5^{x} = \frac{1}{10}$$
или
$$5^{x} - \frac{1}{10} = 0$$
или
$$5^{x} = \frac{1}{10}$$
или
$$5^{x} = \frac{1}{10}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$v - \frac{1}{10} = 0$$
или
$$v - \frac{1}{10} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{1}{10}$$
делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{10}$$
$$x_{1} = \frac{1}{10}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{10}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$0$$
=
$$0$$
подставляем в выражение
$$5^{x} < \frac{1}{10}$$
$$5^{0} < \frac{1}{10}$$

1 < 1/10

но

1 > 1/10

Тогда
$$x < \frac{1}{10}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{10}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /             -log(10) \
And|-oo < x, x < ---------|
   \               log(5) /

$$-\infty < x \wedge x < - \frac{\log{\left (10 \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$

Быстрый ответ 2

      -log(10)  
(-oo, ---------)
        log(5)  

$$x \in \left(-\infty, - \frac{\log{\left (10 \right )}}{\log{\left (5 \right )}}\right)$$

График