(x-1)^2-2<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x-1)^2-2<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

       2        
(x - 1)  - 2 < 0

$$\left(x - 1\right)^{2} - 2 < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x - 1\right)^{2} - 2 < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x - 1\right)^{2} - 2 = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(\left(x - 1\right)^{2} - 2\right) + 0 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} - 2 x - 2 + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (-1) = 8

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 1 + \sqrt{2}$$
Упростить
$$x_{2} = 1 - \sqrt{2}$$
Упростить
$$x_{1} = 1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt{2}$$
$$x_{1} = 1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = 1 - \sqrt{2}$$
$$x_{1} = 1 + \sqrt{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(1 - \sqrt{2}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10} - \sqrt{2}$$
подставляем в выражение
$$\left(x - 1\right)^{2} - 2 < 0$$
$$\left(-1\right) 2 + \left(\left(-1\right) 1 + \left(\frac{9}{10} - \sqrt{2}\right)\right)^{2} < 0$$

                   2    
     /  1      ___\     
-2 + |- -- - \/ 2 |  < 0
     \  10        /     
    

но

                   2    
     /  1      ___\     
-2 + |- -- - \/ 2 |  > 0
     \  10        /     
    

Тогда
$$x < 1 - \sqrt{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 1 - \sqrt{2} \wedge x < 1 + \sqrt{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Быстрый ответ

   /          ___        ___    \
And\x < 1 + \/ 2 , 1 - \/ 2  < x/

$$x < 1 + \sqrt{2} \wedge 1 - \sqrt{2} < x$$

Быстрый ответ 2

       ___        ___ 
(1 - \/ 2 , 1 + \/ 2 )

$$x\ in\ \left(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}\right)$$

График