(x+1)^2-2<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x+1)^2-2<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

       2        
(x + 1)  - 2 < 0

$$\left(x + 1\right)^{2} - 2 < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x + 1\right)^{2} - 2 < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 1\right)^{2} - 2 = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x + 1\right)^{2} - 2 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} + 2 x - 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (1) * (-1) = 8

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
Данные корни
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

       ___   1 
-1 - \/ 2  - --
             10

=
$$- \sqrt{2} - \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 1\right)^{2} - 2 < 0$$

                     2        
/       ___   1     \         
|-1 - \/ 2  - -- + 1|  - 2 < 0
\             10    /         

                   2    
     /  1      ___\     
-2 + |- -- - \/ 2 |  < 0
     \  10        /     
    

но

                   2    
     /  1      ___\     
-2 + |- -- - \/ 2 |  > 0
     \  10        /     
    

Тогда
$$x < - \sqrt{2} - 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \sqrt{2} - 1 \wedge x < -1 + \sqrt{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Быстрый ответ

   /           ___         ___    \
And\x < -1 + \/ 2 , -1 - \/ 2  < x/

$$x < -1 + \sqrt{2} \wedge - \sqrt{2} - 1 < x$$

Быстрый ответ 2

        ___         ___ 
(-1 - \/ 2 , -1 + \/ 2 )

$$x \in \left(- \sqrt{2} - 1, -1 + \sqrt{2}\right)$$