x+2>=1/x (неравенство)

Укажите решение неравенства: x+2>=1/x (множество решений неравенства)

Вы ввели

         1
x + 2 >= -
         x

$$x + 2 \geq \frac{1}{x}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x + 2 \geq \frac{1}{x}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x + 2 = \frac{1}{x}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$x + 2 = \frac{1}{x}$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
и x
получим:
$$x \left(x + 2\right) = \frac{x}{x}$$
$$x^{2} + 2 x = 1$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + 2 x = 1$$
в
$$x^{2} + 2 x - 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (1) * (-1) = 8

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
Данные корни
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

       ___   1 
-1 - \/ 2  - --
             10

=
$$- \sqrt{2} - \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$x + 2 \geq \frac{1}{x}$$

       ___   1                1       
-1 - \/ 2  - -- + 2 >= ---------------
             10               ___   1 
                       -1 - \/ 2  - --
                                    10

                   1      
9      ___    ------------
-- - \/ 2  >=   11     ___
10            - -- - \/ 2 
                10        

но

                  1      
9      ___   ------------
-- - \/ 2  <   11     ___
10           - -- - \/ 2 
               10        

Тогда
$$x \leq - \sqrt{2} - 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \sqrt{2} - 1 \wedge x \leq -1 + \sqrt{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1

Быстрый ответ

  /   /       ___            \     /       ___             \\
Or\And\-1 - \/ 2  <= x, x < 0/, And\-1 + \/ 2  <= x, x < oo//

$$\left(- \sqrt{2} - 1 \leq x \wedge x < 0\right) \vee \left(-1 + \sqrt{2} \leq x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

        ___               ___     
[-1 - \/ 2 , 0) U [-1 + \/ 2 , oo)

$$x \in \left[- \sqrt{2} - 1, 0\right) \cup \left[-1 + \sqrt{2}, \infty\right)$$