Предел функции (n/(1 + n))^n

Вы ввели

            n
     /  n  \ 
 lim |-----| 
n->oo\1 + n/ 

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}$$
преобразуем
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n + 1\right) - 1}{n + 1}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{1}{n + 1} + \frac{n + 1}{n + 1}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)^{n}$$
=
сделаем замену
$$u = \frac{n + 1}{-1}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right)^{n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}}{1 + \frac{1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = e^{-1}$$

Быстрый ответ

 -1
e  

$$e^{-1}$$

Другие пределы при n→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = e^{-1}$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = 1$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = 1$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = \frac{1}{2}$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = \frac{1}{2}$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} = e^{-1}$$
Подробнее при n→-oo

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График