Производная log(cos(sqrt(x)))

Вы ввели

   /   /  ___\\
log\cos\\/ x //

$$\log{\left (\cos{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (\sqrt{x} \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (\sqrt{x} \right )}$:

   1. Заменим $u = \sqrt{x}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

      1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin{\left (\sqrt{x} \right )}}{2 \sqrt{x}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin{\left (\sqrt{x} \right )}}{2 \sqrt{x} \cos{\left (\sqrt{x} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{\tan{\left (\sqrt{x} \right )}}{2 \sqrt{x}}$

---

Ответ:

$- \frac{\tan{\left (\sqrt{x} \right )}}{2 \sqrt{x}}$

Первая производная

       /  ___\    
   -sin\\/ x /    
------------------
    ___    /  ___\
2*\/ x *cos\\/ x /

$$- \frac{\sin{\left (\sqrt{x} \right )}}{2 \sqrt{x} \cos{\left (\sqrt{x} \right )}}$$

Вторая производная

            /  ___\         2/  ___\ 
  1      sin\\/ x /      sin \\/ x / 
- - + --------------- - -------------
  x    3/2    /  ___\        2/  ___\
      x   *cos\\/ x /   x*cos \\/ x /
-------------------------------------
                  4                  

$$\frac{1}{4} \left(- \frac{\sin^{2}{\left (\sqrt{x} \right )}}{x \cos^{2}{\left (\sqrt{x} \right )}} - \frac{1}{x} + \frac{\sin{\left (\sqrt{x} \right )}}{x^{\frac{3}{2}} \cos{\left (\sqrt{x} \right )}}\right)$$

Третья производная

            /  ___\           /  ___\          3/  ___\          2/  ___\ 
3      3*sin\\/ x /      2*sin\\/ x /     2*sin \\/ x /     3*sin \\/ x / 
-- - --------------- - --------------- - ---------------- + --------------
 2    5/2    /  ___\    3/2    /  ___\    3/2    3/  ___\    2    2/  ___\
x    x   *cos\\/ x /   x   *cos\\/ x /   x   *cos \\/ x /   x *cos \\/ x /
--------------------------------------------------------------------------
                                    8                                     

$$\frac{1}{8} \left(\frac{3 \sin^{2}{\left (\sqrt{x} \right )}}{x^{2} \cos^{2}{\left (\sqrt{x} \right )}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{2 \sin^{3}{\left (\sqrt{x} \right )}}{x^{\frac{3}{2}} \cos^{3}{\left (\sqrt{x} \right )}} - \frac{2 \sin{\left (\sqrt{x} \right )}}{x^{\frac{3}{2}} \cos{\left (\sqrt{x} \right )}} - \frac{3 \sin{\left (\sqrt{x} \right )}}{x^{\frac{5}{2}} \cos{\left (\sqrt{x} \right )}}\right)$$