Производная (log(x))/(1-x)

Вы ввели

log(x)
------
1 - x 

$$\frac{\log{\left (x \right )}}{- x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = - x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $-1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(- x + 1\right)^{2}} \left(\log{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \left(- x + 1\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \left(x \log{\left (x \right )} - x + 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x \left(x - 1\right)^{2}} \left(x \log{\left (x \right )} - x + 1\right)$

Первая производная

    1        log(x) 
--------- + --------
x*(1 - x)          2
            (1 - x) 

$$\frac{\log{\left (x \right )}}{\left(- x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(- x + 1\right)}$$

Вторая производная

1     2*log(x)       2     
-- - --------- + ----------
 2           2   x*(-1 + x)
x    (-1 + x)              
---------------------------
           -1 + x          

$$\frac{1}{x - 1} \left(- \frac{2 \log{\left (x \right )}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{2}{x \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x^{2}}\right)$$

Третья производная

  2         6             3         6*log(x)
- -- - ----------- - ----------- + ---------
   3             2    2                    3
  x    x*(-1 + x)    x *(-1 + x)   (-1 + x) 
--------------------------------------------
                   -1 + x                   

$$\frac{1}{x - 1} \left(\frac{6 \log{\left (x \right )}}{\left(x - 1\right)^{3}} - \frac{6}{x \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} \left(x - 1\right)} - \frac{2}{x^{3}}\right)$$