Производная tan(acos(x))

Вы ввели

tan(acos(x))

$$\tan{\left(\operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)}$$

d               
--(tan(acos(x)))
dx              

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(\operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)}$$

Подробное решение

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(\operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)} = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sqrt{1 - x^{2}}$ и $g{\left(x \right)} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 1 - x^{2}$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(1 - x^{2}\right)$:

      1. дифференцируем $1 - x^{2}$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            Таким образом, в результате: $- 2 x$

         В результате: $- 2 x$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}}$

3. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Первая производная

 /       2         \ 
-\1 + tan (acos(x))/ 
---------------------
        ________     
       /      2      
     \/  1 - x       

$$- \frac{\tan^{2}{\left(\operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)} + 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$

Вторая производная

 /       2         \ /     x        2*tan(acos(x))\
-\1 + tan (acos(x))/*|----------- + --------------|
                     |        3/2            2    |
                     |/     2\         -1 + x     |
                     \\1 - x /                    /

$$- \left(\frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \tan{\left(\operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)}}{x^{2} - 1}\right) \left(\tan^{2}{\left(\operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)} + 1\right)$$

Третья производная

                    /                     2                   2        /       2         \                   \
/       2         \ |       1        4*tan (acos(x))       3*x       2*\1 + tan (acos(x))/   6*x*tan(acos(x))|
\1 + tan (acos(x))/*|- ----------- - --------------- - ----------- - --------------------- + ----------------|
                    |          3/2             3/2             5/2                3/2                    2   |
                    |  /     2\        /     2\        /     2\           /     2\              /      2\    |
                    \  \1 - x /        \1 - x /        \1 - x /           \1 - x /              \-1 + x /    /

$$\left(\tan^{2}{\left(\operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \left(- \frac{3 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{6 x \tan{\left(\operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)} + 1\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{4 \tan^{2}{\left(\operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$$

График