Производная x/(cbrt(x+2))

Вы ввели

    x    
---------
3 _______
\/ x + 2 

$$\frac{x}{\sqrt[3]{x + 2}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \sqrt[3]{x + 2}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x + 2$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{u}$ получим $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 2\right)$:

      1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{3 \left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}}} \left(- \frac{x}{3 \left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}}} + \sqrt[3]{x + 2}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 x + 6}{3 \left(x + 2\right)^{\frac{4}{3}}}$

---

Ответ:

$\frac{2 x + 6}{3 \left(x + 2\right)^{\frac{4}{3}}}$

Первая производная

    1            x      
--------- - ------------
3 _______            4/3
\/ x + 2    3*(x + 2)   

$$- \frac{x}{3 \left(x + 2\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x + 2}}$$

Вторая производная

  /      2*x \
2*|-3 + -----|
  \     2 + x/
--------------
          4/3 
 9*(2 + x)    

$$\frac{\frac{4 x}{x + 2} - 6}{9 \left(x + 2\right)^{\frac{4}{3}}}$$

Третья производная

  /     7*x \
4*|9 - -----|
  \    2 + x/
-------------
          7/3
27*(2 + x)   

$$\frac{- \frac{28 x}{x + 2} + 36}{27 \left(x + 2\right)^{\frac{7}{3}}}$$